Мамфорда Гипотеза

Гипотеза о том, что всякая полупростая алгебраич. группа Gгеометрически редуктивна, т. е. обладает следующим свойством: для любого рационального представления группы Gв конечномерном векторном пространстве Vи любого неподвижного относительно Gненулевого вектора существует G-инвариантный однородный многочлен f положительной степени на пространстве V, для к-рого Гипотеза была сформулирована Д. Мамфордом [1] (в несколько отличном от предыдущего, но эквивалентном ему виде) с целью найти такое свойство полупростых групп, определенных над алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики, к-рое могло бы служить равноценной — с точки зрения геометрич. инвариантов теории — заменой классич. свойства полной приводимости рациональных линейных представлений полупростых групп, определенных над полем нулевой характеристики (это последнее свойство не имеет места в случае положительной характеристики основного поля), и позволило бы снять ограничение на характеристику основного поля в ряде центральных результатов геометрич. теории инвариантов (в первую очередь, в теореме о конечной порожденноеЩ алгебры инвариантов редуктивной группы автоморфизмов алгебры конечного типа над полем, см. Гильберта теорема об инвариантах). Если характеристика основного поля kравна нулю, то доказательство М. г. дается классич. теоремой Вейля о полной приводимости рациональных представлений полупростых групп (см. [2]): в этом случае к инвариантной прямой L=kv в пространстве Vимеется инвариантное дополнение Г (т. е. такая инвариантная однородная гиперповерхность Г степени 1 в V, что ), и в качестве f можно взять линейную форму, являющуюся уравнением Г. В случае поля kположительной характеристики рМ. г. обобщает этот факт, также утверждая, что существует инвариантная однородная гиперповерхность Г в V, для к-рой но только степень Г не обязательно равна 1 (в оригинальной постановке М. г. утверждает также, что эта степень равна р n для нек-рого целого п). М. г. эквивалентна также утверждению о том, что для любого регулярного действия полупростой группы G на аффинном алгебраич. многообразии Xи любых двух замкнутых непересекающихся инвариантных подмножеств X1 и Х 2 в Xсуществует инвариантная регулярная функция hна X, для к-рой h(X1)=0 и h(X2)=1 (т. е. X1 и Х 2 разделяются регулярными инвариантами, см. [3]). Впервые М. г. доказана в [4] (включая и гипотезу о степени формы); это доказательство распространено в [5] на общий случай редуктивных групповых схем над кольцом. Доказательство М. г. вместе с результатами работ [6], [10] позволило, во-первых, придать окончательную форму обобщению теоремы Гильберта об инвариантах: если R- алгебра конечного типа над полем k, G — редуктивная рациональная группа ее k-автоморфизмов и RG — подалгебра всех G-инвариантных элементов в R, то RG — также алгебра конечного типа над k;и, во-вторых, позволило установить, что линейная алгебраич. группа над полем произвольной характеристики геометрически редуктивна тогда и только тогда, когда она редуктивна. М. г. имеет приложения в геометрич. теории инвариантов и теории модулей (см. [7] — [9]). Лит.:[1] М u m f о r d D., Geometric Invariant Theory, В. ta. o.J, 1965; [2] F о р a r t у J., Invariant theory, N. Y.- Amst., 1969; [3] Дьедонне Ж., К е р о л л Д ж., М а м ф о р д Д., Геометрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974: [4] Haboush W. J., "Ann. Math.", 1975, v. 102, p. 67-83; [5] S e s h a d r i G. S., "Adv. Math." 1977, Лг 26, p. 225 — 74; [6] N а g a t a M., "J. Math. Куото Univ.", 1964, № 3, p. 369-77; [7] Seshadri C. S., в кн.: Algebraic geometry. Papers presented at the Bombay colloquium. 1968, L., 1969, p. 347-71: [8] Р о р р Н., Moduli theory and classification theory of algebraic varieties, B. [a. o.], 1977; [9] S e s h a d r i C. S., "Proc. Symp. Pure Math.", 1975, v. 29, p. 263-304; [10] Nagata M., Miyata Т., "J. Math. Kyoto Univ.", 1964, N, S,p. 379-82. В. Л. Попов.