Малые Знаменатели

Делители вида появляющиеся у коэффициентов рядов при интегрировании дифференциальных уравнений посредством рядов Тейлора, Фурье пли Пуассона; здесь P=(p1, ..., p т), Q=(q1, ..., q п) — целочисленные, — действительный и — комплексный векторы, а <.,.> — скалярное произведение. При этом существование решения и такие его качества, как аналитичность, гладкость и т. п., существенно зависят от арнфметич. природы чисел и таких же качеств (аналитичность, гладкость и т. п.) дифференциальных уравнений. Ниже указаны условия на векторы к-рые обеспечивают аналитичность решения соответствующей аналитич. адачи. Эти условия различны для задач линейных и нелинейных. 1. Линейные задачи, а) Ряд Тейлора. Решение x уравнения где Х=(x1, ..., х n), а функция j аналитична в точке Х=0 (причем j(0)=0) и разлагается в указанный ряд Тейлора, дается рядом Тейлора Этот ряд сходится в нек-рой окрестности нули, если существуют такие числа e, v>0, что для всех целочисленных Это условие неулучшаемо в классе всех аналитич. функций j; оно необходимо для сходимости ряда x. б) Ряд Фурье. Решение h уравнения где Y=(y1, . . ., у т), правая часть к-рого разложена в ряд Фурье, дается рядом Фурье к-рый сходится в нек-рой полосе если функция y аналитична и где предел берется по всем целочисленным Р, Это условие неулучшаемо в классе всех аналитич. функций y вида (3). Уравнение (3) встречается в задаче приведения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на торе (см. [1], там вместо условия (4) ошибочно дано (2)). Аналогично обстоит дело при интегрировании по tусловно периодич. функции Подобные линейные задачи возникают в каждом приближении при итерационном решении нелинейных задач (в теории возмущений). Если условия (2) или (4) не выполнены, то неформальное решение соответствующей задачи может не быть аналитическим, гладким или даже не существует вовсе (в зависимости от арифметнч. природы векторов и ), хотя формальные решения — ряды x и h всегда существуют (см. [1]). 2. Нелинейные задачи. В таких задачах М. з. (1) появляются не поодиночке, а в виде произведений. а) Р я д ы Тейлора. Рассмотрим систему вблизи неподвижной точки X-0: где jj — сходящиеся ряды Тейлора без свободных членов. Пусть для целочисленных Тогда существует формальная обратимая замена координат где xj — также ряды Тейлора без свободных членов, к-рая приводит систему (5) к нормальной форме Ряды xj сходятся в нек-рой окрестности нуля, если где но (см. [2]). Впервые нелинейную задачу такого типа решил К. Зигель (С. Siegel, 1942; см. [2], [3]) при более жестком условии: При этом условии и ряд (6) сходится. Условие (2) эквивалентно ограниченности членов ряда (6); оно необходимо для сходимости рядов xj при произвольных аналитических jj. Но пока (1982) неизвестно, что происходит в "щели" между условиями (2) и (6) (см. более сложные резонансные ситуации в [2]). Если условие (2)не выполнено, то между решениями системы (5) и ее нормальной формы (5') может не быть аналитического, гладкого и даже топологич. соответствия. б) Ряды П у а с с о н а. Пусть аналитич. система правые части к-рой разложены в ряды Пуассона вблизи инвариантного тора Х = 0 (т. е. в ряды Тейлора по Xи ряды Фурье по Y), имеет формальное интегральное многообразие где hj — также ряды Пуассона. Спрашивается, когда это многообразие будет аналитическим (т. е. когда ряды hj будут абсолютно сходиться для достаточно малых | Х| и |ImY|). При этом среди координат xj могут быть и малые параметры, для них lj=0. Впервые такая задача решена А. Н. Колмогоровым [4] для га-мильтоновой системы (8) с тстепенями свободы и одним малым параметром х п (т. е. то+1 = п и ): при условии была доказана аналитичность многообразия (9) с r=m, состоящего из инвариантных торов. Там же для доказательства сходимости рядов Пуассона hj был впервые предложен "метод Ньютона", ставший основным в исследовании нелинейных задач. Условие (10) и его аналог использовались затем в задачах такого же типа (см. [5] — [7]). Условия (2) и (4) здесь также необходимы для сходимости рядов (9) (см. более сложные вырожденные ситуации в [7]). Если эти условия не выполнены, то может не быть аналитического (и даже непрерывного) инвариантного многообразия вида (9). Самое жесткое из ограничений (2), (6), (7) — условие (7) — при v>n-1 выполнено для почти всех (но мере Лебега) векторов Л. Свойства типа (2), (6), (7) для векторов изучаются в теории диофавтовых приближений. Достаточно хорошо изучен двумерный случай. Пусть ql — знаменатель l- йподходящей дроби цепной дроби числа l=l2/l1<0. Тогда условие (6) эквивалентно сходимости ряда а условие (2) — ограниченности его членов. Рассматривались М. з. (1) с переменными векторами (см. [6]). М. з. впервые встретились в задачах небесной механики, и основные линейные задачи были решены в 1884 Г. Брунсом (Н. Bruns). Вообще в Солнечной системе имеется много "острых соизмеримостей" между частотами, следствием к-рых являются М. з. (1). Напр., малый знаменатель 2w1-5w2=0,007..., где w1 и w2 — частоты движения Юпитера и Сатурна соответственно, приводит к появлению больших взаимных возмущений в движении этих планет. Другой пример: щели в поясе астероидов и в кольце Сатурна соответствуют резонансам с частотой возмущающего тела (Юпитера и Мимаса соответственно). Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1953. т. УЗ, № 5, с. 763-66; [2] Б р ю н о А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с.199-239; [3] 3 и г е л ь К. Л., Лекции по небесной механике, пер. с нем., М., 1959; [4] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1954. т. 98, № 4, с. 527 — 30; [5] М о з е р Ю., Лекции о гамильтоновых системах, пер. с англ., М., 1973; [6] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. В, с. 91 — 192; [7] Брюно А. Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, М., 1979. А. Д. Брюно.