Малого Параметра Метод

В т е о р и и дифференциальных уравнений — приемы построения приближенных решений дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра. 1) М. п. м. для обыкновенных дифференциальных уравнении. Обыкновенные дифференциальные уравнения, к к-рым приводят прикладные задачи, обычно содержат один или несколько параметров. Параметр может входить также в начальные данные или граничные условия. Поскольку найти точное решение дифференциального уравнения можно лишь для отдельных весьма частных классов, возникла задача о построении приближенного решения. Одна из типичных постановок ее такова: уравнение и начальные (граничные) условия содержат параметр l и решение известно (или его можно считать известным) при l=l0;требуется построить приближенное решение при значениях параметра l, близких к l0, т. е. построить асимптотику решения при где e=l-l0 — малый параметр. М. п. м., возникший в связи с задачей трех тел небесной механики, восходит к Ж. Д'Аламберу (J. D'Alembert) и интенсивно развивается с кон. 19 в. Ниже используются следующие обозначения: t- независимое переменное, e>0 — малый параметр, I — отрезок знак — означает асимптотич. равенство. Все векторные и матричные функции, входящие в уравнения и в граничные условия, предполагаются гладкими (класса ) по совокупности переменных в рассматриваемой области (по e — при или ). 1. Задача Коши для системы n-го порядка: Пусть решение предельной задачи (т. е. задачи, получающейся из (1) при e=0) существует и единственно при _ Тогда для решения x(t, е).задачи (1) справедливо асимптотич. разложение при равномерное по Этот факт вытекает из теоремы о гладкой зависимости от параметра решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если вектор-функции f и х 0 голоморфны при то ряд (2) сходится к решению x(t, е) при достаточно малых |e| равномерно по (теорема Пуанкаре). Аналогичные результаты справедливы и для краевой задачи для системы вида (1), если решение соответствующей предельной задачи существует и единственно. Различают два вида зависимости уравнения (или системы) от малого параметра — регулярную и сингулярную. Система в нормальной форме регулярно зависит от параметра e, если все правые ее части — гладкие функции от e при малых в противном случае система зависит от параметра 8 сингулярно. При регулярной зависимости системы от e решение задачи с параметром на конечном отрезке по t, как правило, равномерно стремится при к решению предельной задачи. 2. В линейной теории рассматриваются сингулярно зависящие от параметра е системы n-го порядка где элементы -матрицы Аи компоненты вектора f- комплекснозначные функции. Центральная задача линейной теории — построение такой фундаментальной системы решений (ф. с. р.) однородной системы (т. е. при ), для к-рой асимптотика при известна на всем отрезке I. Основным результатом линейной теории является следующая теорема Биркгофа. Пусть: 1) собственные значения матрицы A(t,0) различны при 2) величины не меняют знак. Тогда существует ф. с. p. x1(t,e), ..., xn(t,e) однородной системы для к-рой справедливо асимптотич. разложение при Это разложение равномерно по и его можно дифференцировать по tи по е любое число раз. Если матрица Ане зависит от е, т. е. А=А(t), то где — левые и правые собственные векторы матрицы A(t), нормированные условием Решения, имеющие асимптотику вида (3), наз. также ВКБ-решениями (см. ВКБ-метод). Качественная структура этих решений такова. Если то xj есть вектор-функция типа пограничного слоя при t0=0 (t0=Т), т. е. заметно отлична от нуля только в е-окрестности точки t=0 (t= Т). Если же то решение xj сильно осциллирует при и имеет порядок O(1) на всем отрезке I. Если матрица-функция A(t, e) голоморфна при и условие 1) выполнено, то формула (3) справедлива при где t1>0 достаточно мало. Трудной проблемой является построение асимптотики ф. с. р. при наличии на Iточек поворота, т. е. точек, в к-рых матрица A(t,0) имеет кратное собственное значение. Эта проблема полностью решена только для отдельных типов точек поворота (см. [1]). В окрестности точки поворота имеется переходная область, в к-рой решение устроено довольно сложно и в простейшем случае выражается через Эйри функции. Аналогичные результаты (см. [1]) справедливы для скалярных уравнений вида где а j — комплекснозначные функции; роль функций играют корни характерйстич. уравнения ВКБ-решения возникают также и в нелинейных системах вида ВКБ-асимптотика (3), в условиях теоремы Биркгофа, справедлива на бесконечном интервале (т. е. разложение (3) — асимптотическое и при и при ), если матрица A(t, е) достаточно правильно ведет себя при напр. быстро стремится к постоянной матрице с различными собственными значениями (см. [2]). К сингулярным задачам с малым параметром приводят многие вопросы спектрального анализа (см. [3]) и математич. физики. 3. Особый интерес представляет исследование нелинейных систем вида где e>0 — малый параметр. Первое уравнение описывает быстрые движения, второе — медленные движения. Напр., Ван дер Поля уравнение с помощью замены приводится при больших значениях параметра l, к системе имеющей вид (4). При e=0 уравнение быстрых движений вырождается в уравнение f(x, у)=0. Пусть это уравнение имеет в нек-рой ограниченной замкнутой области Dизменения уизолированный устойчивый непрерывный корень x=j(y) (т. е. действительные части всех собственных значений матрицы Якоби отрицательны при x=j(y), ); пусть решения задачи (4) и вырожденной задачи существуют и единственны при причем получающаяся при решении задачи (5) функция при Если точка ( х 0, у 0).принадлежит области влияния корня x=j(y), то при где — решение вырожденной задачи (теорема Тихонова). Вблизи точки t=0 предельный переход является неравномерным — возникает пограничный слой. Для задачи (4) построена асимптотика решения: а асимптотика для y(t,e) имеет аналогичный вид. В (6) первая сумма — регулярная часть асимптотики, вторая — пограничный слой. Регулярная часть асимптотики вычисляется стандартным способом: ряды вида (2) подставляются в систему (4), правые части разлагаются в ряды по степеням е и затем приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях е. Для вычисления погранслойной части асимптотики в окрестности точки t=0 вводится новая переменная t=t/e, (быстрое время) и применяется описанная выше процедура. Возникает нек-рый интервал на оси t, на к-ром пригодно и регулярное (или внешнее) разложение, и погранслойное (или внутреннее) разложение. Функции х k, П k определяются из условия совпадения этих разложений (т. н. метод сращивания, см. [4], [5]). Аналогичные результаты справедливы в случае, когда правые части системы (4) явно зависят от t, для скалярных уравнений вида и для краевых задач для таких систем и уравнений (см. Дифференциальные уравнения с малым параметром при производных,[6], [7]). При приближении решения задачи (4) к т о ч к е срыва, где теряется устойчивость (напр., где одно из собственных значений матрицы df/дх при х=j(у).обращается в нуль), ряды вида (5) теряют асимптотич. характер. В окрестности точки срыва асимптотика имеет совершенно иной характер (см. [8]). Исследование окрестностей точки срыва особенно существенно для построения асимптотич. теории релаксационных колебаний. 4. Задачи небесной механики и теории нелинейных колебаний приводят, в частности, к необходимости исследовать поведение решения задачи (1) не на конечном интервале, а на большом, порядка e-1 или более высокого, интервале по t. Для исследования этих задач широко применяется метод усреднения (см. Крылова — Боголюбова метод усреднения, Малые знаменатели,[9] — [11]). 5. Асимптотика решений уравнений вида (7) исследуется, в частности, с помощью т. полем . Если решение предельного уравнения известно в некрой точке, то оно известно вдоль всей характеристики, проходящей через эту точку; поэтому краевая задача (3) неразрешима для любых j(х). При решение задачи (2) стремится к решению и 0 (х).предельного уравнения L0u0=f, к-рое равно j(х). на участках АВ и CD. На остальной части границы происходит потеря граничных условий. В окрестности каждого из участков AD и ВС, имеющих характерную ширину e2 и называемую пограничным слоем, решение задачи (2) близко к сумме Здесь х' — координата вдоль границы AD( ВС), р — расстояние до границы по нормали, а — т. н. внутренняя переменная. Решение задачи (2) разлагается в асимптотич. ряд вида (1) всюду, кроме пограничного слоя и нек-рых особых характеристик (на рис. 1 — это СС'). Частичные суммы асимптотич. ряда равномерно приближают решение задачи (2) в области, полученной из Gвыбрасыванием любых фиксированных окрестностей линий AD, ВС и СС'. В пограничном слое, вне окрестностей точек А , В, С, D, С', к асимптотич. ряду (1) добавляется асимптотич. ряд Функции v2k(x,, х') экспоненциально убывают при Первый асимптотич. ряд обычно наз. внешним асимптотическим рядом, а второй — внутренним асимптотическим рядом, а функции v2k(x,, х') — функциями пограничного слоя. Эта терминология, как и сами задачи, происходят из проблем обтекания тел жидкостью с малой вязкостью (см. Гидродинамики математические задачи, а также [1] — [4]). Указанный способ наз. методом пограничного слоя, и он по существу не отличается от такого же метода для обыкновенных дифференциальных уравнений. В окрестностях точек А, В, С, D, в к-рых характеристики оператора L0 касаются границы, и вблизи линии СС' асимптотика решения носит более сложный характер. Усложнения возникают и в случае, когда граница не всюду гладкая (имеются угловые точки, а при n>2 — ребра). В нек-рых простых случаях можно построить асимптотику добавлением дополнительных функций пограничного слоя, зависящих уже от большего числа переменных, но по-прежнему экспоненциально стремящихся к нулю на бесконечности. Но, как правило, картина сложнее: как коэффициенты uk (х).внешнего разложения, так и коэффициенты vk(x, х' )внутреннего разложения имеют сильные особенности в особых точках (на рис.- это точки А, В, С, D). Асимптотика решения, равномерная в замкнутой области может быть построена методом многих масштабов (методом согласования асимптотич. рядов, методом сращивания асимптотич. рядов [5]). Нек-рые задачи для уравнений с частными производными могут быть исследованы другим вариантом метода многих масштабов (метод подъема): решение рассматривается как функция основных независимых переменных и вспомогательных "быстрых" переменных. В результате повышается размерность исходной задачи, но упрощается зависимость от параметров (см. [6]). Если поле характеристик предельного оператора L0 имеет стационарные точки, то задача сильно усложняется. Напр., если и все характеристики направлены внутрь области, то решение задачи (2) при стремится к постоянной. Нахождение этой постоянной и построение асимптотич. ряда решения — трудная, лишь частично решенная задача (см. [7]). Уравнение (2) описывает случайные возмущения динамич. системы х=а (х). Проблемы в этой области также были одним из первоисточников развития М. п. м. в теории уравнений с частными производными (см. [8]). Если в уравнении (2), а b(х)<0, то асимптотич. ряд легко находится: всюду вдали от границы асимптотич. ряд имеет вид (1), а в пограничном слое вблизи границы добавляется асимптотич. ряд где теперь Задача резко усложняется, если b(х)>0. В этом случае решения сильно осциллируют; асимптотич. методы — ВКБ-метод, квазиклассическое приближение, параболического уравнения метод и др. Имеется класс задач, в к-рых вырождается граница области при Для определенности ниже рассмотрена задача где Ge — внешность ограниченной области De. в и k>0; на бесконечности ставятся излучения условия. Пусть, напр., D — фиксированная область, содержащая точку х=0;тогда De. стягивается в точку х=0 и задача (4) не имеет предельной. Величина l=2p/k имеет смысл длины волны; в данном случае где de — диаметр области De , и в этом случае говорят о рассеянии длинных волн на препятствии De (или гидродинамическое приближение, или рэлеев-ское приближение). Имеются две перекрывающиеся зоны: ближняя, содержащая дGe, ее размеры стремятся к нулю при и дальняя — внешность области, к-рая стягивается в точку х=0 при Асимптотич. ряд решения имеет различный вид в этих зонах. Наиболее трудной оказывается первая краевая задача при n=2; внутреннее асимптотич. разложение имеет вид где и a — нек-рая постоянная (см. [9]). Длинноволновое приближение исследовано в основном для уравнения Гельмгольца и для системы Максвелла (см. [10], [11]). Другой вариант возникает, когда De. стягивается к отрезку Lпри в этом случае предельная задача имеется при n=2 и отсутствует при n>2. Такого типа задачи (в том числе и для уравнения Лапласа, и для линейных гиперболич. уравнений, и для нелинейных уравнений с частными производными) возникают в гидродинамике и аэродинамике, в теории дифракции волн (обтекание тонкого тела потоком жидкости или газа). Задача (4) исследована при п=2(см. [12]); при n=3 она исследована, если k=0 и De есть тело вращения (см. [13]). Уравнения с частными производными, содержащие малый параметр, естественно возникают при излучении нелинейных колебаний, когда возмущение имеет порядок e, но решение исследуется на большом отрезке времени порядка e-1. Если вместо системы материальных точек рассматривается непрерывная среда, то возникают уравнения с частными производными, к к-рым применяются обобщения метода усреднения (см. [14]). Лит.:[1] Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, пер. с нем., М., 1969; [2] В а н — Д а й к М., Методы возмущений в механике жидкости, пер. с англ., М., 1967; [3] В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 5, с. 3 -122; [4] Т р е н о г и н В. А., там же, 1970, т. 25, в. 4, с. 123-56; [5] Н а й ф э А. X., Методы возмущений, пер. с англ., М., 1976; [6] Ломов С. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, № 3, с. 635-51; [7] В е н т ц е л ь Л. Д., Фрейдлип М. И., Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений, М., 1979; [8] П о н т р я г и н Л., А н д р о н о в А., В и т т А., "Щ. эксперимент и теоретич. физики", 1933, т. 3, № 3, с. 165-80; [9] ИльинА. М., "Матем. сб.", 1977, т. 103, №2, с. 265-84; [10] Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К., Теория дифракции, пер. с нем., М., 1964; [11] М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1960; [12] И л ь и н А. М., "Матем. сб.", 1976, т. 99, .№ 4, с. 514-37; [13] Ко у л Д. Д., Методы возмущений в прикладной математике, пер. с англ., М., 1972; [14] Митропольский Ю. А., Мосеенков Б. И., Асимптотические решения уравнений в частных производных, К., 1976. А. М. Ильин, М. В. Федорюк.