Максимума Принцип

Дискретный- принцип максимума Понтрягина для дискретных по времени процессов управления. Для такого процесса М. п. может не выполняться, хотя для его непрерывного аналога, получающегося заменой конечно разностного оператора на дифференциальный dx/dt, Понтрягина принцип максимума справедлив. Пусть, напр., имеется задача оптимального управления Задачу (1) — (4) можно трактовать как обычную задачу на экстремум при наличии ограничений. Тогда условия оптимальности траектории можно получить с помощью Лагранжа функции где выражение по аналогии с непрерывным случаем наз. Гамильтона функцией. Пусть функции J, ft, 2=0, 1, ..., Т, дифференцируемы по совокупности переменных, а множество Uограничено и замкнуто. Тогда для того чтобы решение задачи (1) — (4) было оптимальным, необходимо существование Лагранжа множителей таких, что точка будет стационарной точкой функции Лагранжа, т. е. в этой точке выполняются условия для всех допустимых вариаций управления Первое условие приводит к уравнениям динамики дискретного процесса (2) и начальному условию (4). Второе — к граничному условию и сопряженной системе для импульсов : Третье условие — к условию для первой вариации функции Гамильтона: Однако условие (5) не означает, что функция Гамильтона на оптимальном управлении достигает максимума по всем управлениям, удовлетворяющим ограничениям (3); оно показывает, что — стационарная точка функции Гамильтона. Если первая вариация функции Гамильтона обращается в нуль (это имеет место, в частности, когда — внутренняя точка множества или когда в точке существуют допустимые вариации управления ортогональные ), то характер стационарной точки определяется следующими по порядку членами в разложении: Построены примеры, в к-рых оптимальное управление является точкой локального максимума, локального минимума и даже седловой точкой функции Гамильтона. Таким образом, в общем случае для дискретных систем принцип максимума не имеет места. Для систем, линейных по фазовым переменным или по управлениям при дополнительном условии линейности критерия в первом или выпуклости множества Uво втором случае принцип максимума выполняется (см. [1] — [5]). Трактуя задачу оптимального управления линейной дискретной системой как задачу линейного программирования (см. [6], [7]), можно получить двойственную ей динамич.