Максимальный Тор

1) М. т. линейной алгебраической группы G — алгебраическая подгруппа в G, являющаяся алгебраическим тором и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с множеством всех полупростых элементов группы G(см. Жордана разложение), а пересечение — с множеством всех полупростых элементов центра группы G. Всякий М. т. содержится в нек-рой Бореля подгруппе группы G. Централизатор М. т. является Картина подгруппой группы G; он всегда связен. Любые два М. т. группы G сопряжены в G. Если группа G определена над полем k, то в G существует М. т., также определенный над k;его централизатор тоже определен над k. Пусть G — редуктивная группа, определенная над полем k. Среди всех алгебраич. подгрупп в G, являющихся расщепимыми над kалгебраич. торами, также можно рассматривать максимальные подгруппы. Получающиеся таким образом максимальные k-расщепимые торы сопряжены над k. Общая размерность таких торов наз. k-рангом группы G и обозначается rkkG. Максимальный k-расщепимый тор не является, вообще говоря, М. т., т. е. rkkG, вообще говоря, меньше ранга G (равного размерности М. т. в G).. Если rkkG=0, то G наз. анизотропной над kгруппой, а если rkkG совпадает с рангом G, то G наз. расщеп и мой над kгруппой. Если kалгебраически замкнуто, то Gвсегда расщепима над k. В общем случае G всегда расщепима над сепарабельным замыканием k. Примеры. Пусть k — поле и — его алгебраич. замыкание. Группа невырожденных матриц порядка пс коэффициентами в ( см. Классическая группа, Полная линейная группа).определена и расщепима над простым подполем поля k. Подгруппа всех диагональных матриц является М. т. в G. Пусть характеристика поля kотлична от 2. Пусть V-n-мерное векторное пространство над a F- невырожденная квадратичная форма на V, определенная над k(последнее означает, что в нек-ром базисе e1, ..., е п пространства Vформа является многочленом от x1, ..., х п с коэффициентами в k). Пусть G-группа всех невырожденных линейных преобразований пространства V, имеющих определитель 1 и сохраняющих форму F. Она определена над k. Пусть Vk — линейная оболочка над kвекторов e1, ..., е п;она является k-формой пространства V. В Vвсегда существует базис f1, ..., f п в к-ром форма имеет вид где р=n/2, если и четно, и p=(n+1)/2, если и нечетно. Подгруппа в G, состоящая из тех элементов, к-рые в этом базисе имеют матрицу вида || а ij||, где а ij=0 при при i=1, 2, ..., р, является М. т. в G (так что ранг Gравен целой части числа п/2). Указанный базис не лежит, вообще говоря, в Vk. Однако в Vk всегда существует базис h1, ..., h п, в к-ром квадратичная форма имеет вид где F0- квадратичная форма, не представляющая над kнуля (т. е. такая, что уравнение F0=0 имеет в kтолько нулевое решение) (см. Витта разложение). Подгруппа в G, состоящая из всех элементов, к-рые в базисе h1, ..., h п имеют матрицу вида || а ij||, где а ij=0 при при i=1, ..., qи при i=q+l, ..., п-q, является максимальным k-расще-пимым тором в G (так что rkkG=q и G расщепима тогда и только тогда, когда qравно целой части п/2). Рассмотрение М. т. позволяет сопоставить редуктив-ной группе G нек-рую корневую систему, что является основой классификации редуктивных групп. Аименно, пусть — алгебра Ли группы G к Т — фиксированный М. т. в G. Присоединенное представление тора Тв пространстве рационально и диагонализи-руемо, так что раскладывается в прямую сумму весовых подпространств этого представления. Множество ненулевых весов этого представления (рассматриваемое как подмножество своей линейной оболочки в векторном пространстве где X (Т) — группа рациональных характеров тора Т).оказывается (приведенной) корневой системой. Аналогично определяется и относительная система корней:если G определена над k, a S — максимальный k-расщепимый тор в G, то множество ненулевых весов присоединенного представления Sв образует корневую систему (вообще говоря, неприведенную) в нек-ром подпространстве пространства См. также Вейля группа, Полупростая группа. Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Арифметические группы и автоморфные функции, пер. с англ. и франц., М., 1969. 2) М. т. с в я з н о й вещественной группы Ли G — связная компактная коммутативная подгруппа Ли Тв G, не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Как группа Ли, М. т. Тизоморфен прямому произведению нескольких экземпляров связной одномерной компактной вещественной группы Ли, к-рая, с точностью до изоморфизма, существует только одна и может быть отождествлена с "окружностью" S(мультипликативной группой всех комплексных чисел, равных по модулю 1). Всякий М. т. группы G содержится в максимальной компактной подгруппе группы G; любые два М. т. группы G (так же, как и любые две ее максимальные компактные подгруппы) сопряжены в G. Это в известной степени сводит изучение М. т. к тому случаю, когда G компактна. Пусть, далее, G является компактной группой. Объединение всех М. т. группы G совпадает с G, а пересечение — с центром G. Алгебра Ли М. т. Тявляется максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли группы G, и всякая максимальная коммутативная подалгебра в так получается. Централизатор М. т. Г в G совпадает с Т. Присоединенное представление Тв диагонализируемо, и все ненулевые веса этого представления образуют в пространстве где X(Т) — группа характеров тора Т, корневую систему. Последнее обстоятельство служит основой классификации компактных групп Ли. Лит.:[1] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [2] Ж е л о б е н к о Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970: [3] X е л г а с о н С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964. В. Л. Попов.