Этимологический словарь Макса Фасмера
махать
маха́ть
а́ю, машу́, укр. маха́ти, машíти, блр. маха́ць, цслав. махати, болг. ма́хам "машу, киваю, пряду", сербохорв. ма́хати, ма̑ха̑м (ма̑ше̑м), словен. máhati, máham, чеш. mа́сhаti,слвц. máсhаt᾽, польск. mасhаć, в.-луж. mасhаć, н.-луж. mасhаś.
Расширение на -х- от основы ма́ять; ср. лит. móti "махать, кивать"; см. Брюкнер, IF 23, 208; Бернекер 2, 4 и сл.; Педерсен, IF 5, 51. Ср. е́хать: лит. jóti, jóju "ехать верхом". Сюда же относится чеш. mávati "помахивать", слвц. mávаt᾽ – то же. Сомнительны сравнения с лит. mosúoti "махать", mostagúoti "размахивать руками", mosterė́ti "махнуть, сделать знак" (Буга, РФВ 65, 319; Лескин, IF 19, 209), греч. μαίομαι, буд. μάσσομαι "стремлюсь", μάστιξ "плеть" (Прельвиц, ВВ 26, 306); см. Траутман, ВSW 166. Неубедительно сопоставление с греч. μάχομαι "сражаюсь", μάχη "борьба" (Петерссон, AfslPh 35, 362 и сл.; Леви, ZfslPh 1, 416), которые, скорее, содержат и.-е. палатальный; ср. μάζακις ̇δόρυ παρθικόν (Гесихий), которое, по мнению Лагеркранца (Хеniа Lidéniana 273), из ир. Не связано также с мять, вопреки Иоклю (AfslPh 28, 5 и сл.; 29, 22). Отсюда маха́ться (напр. веером); см. Бернекер, там же, а также в знач. "ухаживать", которое Мельников (2, 266) пытался истолковать как кальку из франц. s᾽évеntеr.