Лузина Гипотеза

В теории множеств: мощность континуума есть мощность множества всех подмножеств, состоящих из счетных порядковых чисел, т. е. Л. г. совместна с системой аксиом Цермело — Френкеля теории множеств и аксиомой выбора. Н. Н. Лузин [1] рассматривал эту гипотезу как альтернативу к континуум-гипотезе, т. к. Аксиома Мартина и отрицание континуум-гипотезы влекут Л. г. Отрицание Л. г. иногда также наз. гипотезой Лузина. Л. г., обозначаемая через (HL), или ее отрицание, к-рое обозначается через (LH), используется при доказательстве ряда теорем общей топологии. Напр., (LH) эквивалентна одному из следующих утверждений: всякий бикомпакт мощности, но превосходящей мощности континуума, имеет всюду плотное подпространство, удовлетворяющее 1-й аксиоме счетности; всякий диадический бикомпакт мощности, не превосходящей мощности континуума, метризуем. Из (LH) вытекают следующие предложения: всякое нормальное пространство, удовлетворяющее 1-й аксиоме счетности и Суслина условию., является коллективно нормальным; всякое сепарабельное нормальное пространство Мура метризуемо. Лит.:[1] Л у з и н Н. Н., "Fundam. math.", 1935, v. 25, p. 109-31; [2] М о с т о в с к и й А., Конструктивные множества и их приложения, пер. с англ., М., 1973. Б. А. Ефимов.