Лоренца Аттрактор

Компактное инвариантное множество Lв трехмерном фазовом пространстве гладкого потока , к-рое имеет указанную ниже сложную топологич. структуру и является асимптотически устойчивым (т. е. оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из нек-рой окрестности Lстремятся к Lпри ); в понятие аттрактора, т. е. притягивающего множества, часто включают только последнее из этих двух свойств, однако как Л. а., так и другие практически важные аттракторы обладают обоими этими свойствами. Л. а. впервые появился в численных экспериментах Э. Лоренца [1], исследовавшего поведение траекторий системы при нек-рых конкретных значениях параметров (Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галеркинское приближение для нек-рых гидродинамич. задач- чем и мотивировался выбор значений но она возникает также и в других физич. вопросах, см. [2], [3].) В [4] результаты [1] и более новые данные численных экспериментов в общих чертах сопоставлены с теоретич. представлениями теории гладких динамич. систем, а в [5] результаты [1] интерпретированы как указание о существовании у системы (*) аттрактора (получившего назв. аттрактора Лоренца), к-рый во многом аналогичен гиперболическим множествам, но не является таковым (основное отличие связано с тем, что в состав Л. а. входит положение равновесия типа седло с одним положительным собственным значением; для системы (*) это положение равновесия — начало координат). Существование Л. а. и ряд его свойств следуют из определенных особенностей отображения последования на нек-рой поверхности П (для системы (*) используется плоскость z=27), точная формулировка к-рых, однако, весьма громоздка (см. [6], [9]) и при проверке к-рых для конкретных систем, включая (*), приходится прибегать к численному интегрированию. Соответственно, Л. а. посвящены исследования двух типов. 1) В исследованиях теоретич. характера с самого начала предполагается, что рассматриваемые потоки имеют на нек-рой поверхности П надлежащее отображение последования, и отсюда извлекаются следствия о свойствах Л. а. Его строение описывается следующим образом [8]. Рассмотрим "разветвленное многообразие" L0, на к-ром при задан поток как указано на рисунке. Пусть отображение последования на линии разветвления аb является (равномерно) растягивающим, т. е. во всех точках (кроме с, где оно терпит разрыв) его производная больше нек-рого l>1 (годится любое такое l, но исследование упрощается при что совместимо с вычислительными данными о системе (*) при указанных ). Пары естественным образом образуют обратный спектр топологич. пространств и отображений; его предел и есть (Дальнейшее изучение структуры Л. а. [8], [11] основывается на этом описании, к-рое поэтому естественно включить в определение Л. а., особенно если не связывать определение со специальными свойствами отображения последования.) Л. а. обладают топологической транзитивностью и их периодич. траектории в совокупности плотны в L. При малом (в смысле С 1) возмущении потока с надлежащим отображением последования у возмущенного потока имеется Л. а., близкий к Л. а. исходного потока, но, вообще говоря, не гомеоморфный ему. В этом смысле Л. а. сохраняется при малых возмущениях (в теории гладких динамич. систем известны (1982) только два класса компактных инвариантных множеств с этим свойством и сколько-нибудь изученной структурой: Л. а. и локально максимальные гиперболические множества), но Л. а. (в отличие от последних) не обладают локальной грубостью. 2) Чтобы обнаружить Л. а. у конкретной системы типа (*) и уточнить его свойства, приходится наряду с различными теоретич. соображениями использовать численное интегрирование (см. [7], [9]). Таким путем были исследованы бифуркации, происходящие в системе (*) при изменении r или а и приводящие к появлению Л. а. [9]. Естественно, численное интегрирование и само по себе дает нек-рую информацию об аттракторе (поскольку траектории со временем приближаются к нему, то на чертеже, изображающем последовательные точки пересечения просчитываемых траекторий с П, возле аттрактора эти точки расположены значительно "гуще", чем вдали от него, и это сразу бросается в глаза). Относящийся сюда материал весьма обширен; так, обнаружены новые области значений параметров, при к-рых система (*) имеет Л. а. [10]. Здесь, однако, остаются невыясненными детали топологич. структуры, к-рая может и отличаться от описанного выше строения "стандартных" Л. а. Теоретич. интерпретации данных численных экспериментов для систем порядка выше трех пока (1982) не имеется. Лит.:[1] Lorenz Е. N., "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, №2, p. 130-41; [2] Монин А. С., "Успехи физич. наук", 1978, т. 125, в. 1, с. 97 — 122; [3] Рабинович М. И., там же, с. 123-68; [4] М с L a u g h l i n J. В., М а r t i n P. С., "Phys. Rev. Letters", 1974, v. 33, p. 1189-92; "Phys. Rev. Ser. A", 1975, v. 12, J* 1, p. 186-203; [5] R u е 1 1 e D., в кн.: Lecture Notes in Mathematik, № 565, [1976], p. 146-58; [6] M а r s d e n J. E., McCrokes M., The Hopf bifurcation and its applications, В., 1976, p. 368; [7] Нелинейные волны, М., 1979, с. 176, 212; [8] W i 1 1 i a m s R. F., в кн.: Lecture Notes in Mathematik, № 615, [1977], p. 94-112; [9] А ф р а й м о в и ч В. С., Б ы к о в В. В., Ш и л ь н и к о в Л. П., "Докл. АН СССР", 1977, т. 234, № 2, с. 336 — 39; [10] М о r i о k a N., S h i m i z u Т., "Phys. Letters", 1978, v. 66 A, № 6, p. 447-49; [11] Rand D., "Math. Proc. Cambr. Phil. Soc.", 1978, v. 83, №3, p. 451 — 60. Д. В. Аносов.