Логарифмический Вычет

Мероморфной функции w=f(z).в точке а расширенной плоскости комплексного переменного z — вычет логарифмич. производной f'(z)/f(z) в точке а. Представив функцию ln f(z) в окрестности V(а).точки в виде — регулярная функция в V(a), получают Соответствующие формулы для случая имеют вид Если а — нуль кратности тфункции f(z) или полюс кратности т, то Л. в. f(z) в точке а равен соответственно тили -m; во всех остальных точках Л. в. равен нулю. Если f(z) — мероморфная функция в области Dи Г — спрямляемая жорданова кривая, расположенная в Dи не проходящая ни через нули, ни через полюсы f(z). то Л. в. функции f(z) относительно контура Г паз. интеграл к-рый равен разности между числом нулей Nфункции f(z) и числом полюсов Рвнутри Г (с учетом их кратности). Геометрич. смысл формулы (1) состоит в том, что при обходе контура Г в положительном направлении вектор w=f(z) делает N-Р оборотов вокруг начала координат w=0 плоскости переменного w(см. Аргумента принцип). В частности, если f(z) регулярна в D, т. е. Р=0, из (1) получается формула для вычисления индекса точки w=0 относительно образа Г*=f (Г) пути Г при помощи Л. в.: Формула (2) приводит к обобщению понятия Л. в. для регулярных функций многих комплексных переменных в области Dкомплексного пространства Пусть — голоморфное отображение такое, что якобиан и множество нулей E=f-1(0).изолировано в D. Тогда для любой области ограниченной простой гладкой замкнутой поверхностью Г, не проходящей через нули f, имеем формулу для индекса точки w=0 относительно образа Г*=f (Г): где интегрирование производится по га-мерному остову при достаточно малом Интеграл в формуле (3) выражает также сумму кратностей нулей отображения f в G(см. [2]). Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев.