Логарифмический Потенциал

Потенциал с логарифмическим ядром где |х-у| — расстояние между точками хи уевклидовой плоскости т. е. потенциал вида где интегрирование производится, вообще говоря, по произвольной борелевской мере с компактным носителем Физически можно представить, что Л. п. возникает из ньютонова потенциала сил тяготения, когда распределение притягивающих масс в евклидовом пространстве точек y=(y1, y2, y3).не зависит, напр., от координаты y3. Общая масса при этом, разумеется, бесконечна, но если произвести регуляризацию получающейся силы притяжения F, к-рую можно считать действующей в плоскости (x1, x2,0), состоящую в отбрасывании бесконечного слагаемого, то потенциал конечной части силы Fбудет иметь как раз вид (1) (см. [2]). В отличие от ньютонова, логарифмич. ядро имеет особенность не только при но и при что обусловливает нек-рые отличия в поведении Л. п. по сравнению с ньютоновым. Они проявляются главным образом при решении внешних краевых задач (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи). Основные применения Л. п. находит при решении плоских краевых задач теории потенциала (см. также Краевая задача для эллиптического уравнения). Основные свойства Л. п.: 1) вне носителя Sмеры m Л. п. является регулярным решением Лапласа уравнения т . е. и(х) — гармонич. функция на открытом множестве не регулярная, однако, на бесконечности; 2) если мера m абсолютно непрерывна, т. е. интеграл (1) принимает вид где D — конечная область, — элемент площади Dи плотность f(у).принадлежит классу то вторые производные и(х).непрерывны в Dи удовлетворяют Пуассона уравнению Если интеграл в (2) распространен по замкнутой кривой Ляпунова L(см. Ляпунова поверхности и кривые), т. е. то говорят о логарифмическом потенциале простого слоя, распределенного на L. Если при этом то Л. п. простого слоя (3) непрерывен всюду в Его нормальная производная имеет пределы изнутри и извне Lсоответственно: где — т. н. прямое значение нормальной производной Л. п. простого слоя, (у- у 0, n0) — угол между вектором у — y0 и внешней нормалью n0 к Lв точке Интеграл (4) непрерывен на L. Логарифмический потенциал двойного слоя имеет вид где п — внешняя нормаль к L в точке Если то Л. п. двойного слоя (5) является регулярной гармонич. функцией внутри и извне Lи имеет пределы по нормали изнутри и извне Lсоответственно: где — прямое значение Л. п. двойного слоя в точке Нормальная производная Л. п. двойного слоя непрерывна при переходе через L. Перечисленные граничные свойства Л. п. простого и двойного слоя вполне аналогичны соответствующим свойствам ньютонова потенциала (см. также Потенциала теория). Из выражения (5) видно, что Л. п. двойного слоя уже является регулярной на бесконечности гармонич. функцией. Л. п. также непосредственно связан с граничными задачами теории аналитических функций, т. к. интеграл типа Коши выражается через Л. п. простого и двойного слоя (см. [3]). Лит.:[1] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [2] Вебстер А., Сеrе Г., Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, пер. с нем., 2 изд., ч. 1 — 2, М.- Л., 1934; [3] М у с х е л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [4] La Vallee-Poussin Сh., Le potentiel logarithmique; balayage et representation conforme, Louvain, 1949; [5] Evans G. C., The logarithmic potential, discontinuous. Dirichlet and Neumann problems, N. Y., 1927. Е. Д. Соломенцев.