Лобачевского Пространство

Пространство, геометрия к-рого определяется аксиомами Лобачевского геометрии. В более широком смысле Л. п. понимается как неевклидово гиперболич. пространство, определение к-рого связано с понятиями геометрии псевдоевклидова пространства. Пусть nRn+1 — псевдоевклидово (n+1) -пространство индекса n;на n-сфере этого пространства рассматривается множество пар диаметрально противоположных точек. Множество элементов, изометричное множеству пар указанных выше точек n-сферы пространства nRn+1, наз. n-пространством Лобачевского н обозначается 1Sn. Такое определение Л. п. позволяет вшпочить это пространство в проективную классификацию неевклидовых пространств. Пространство 1Sn в проективном пространстве Р п изображается внутренней областью овальной ( п-1)-квадрики, к-рая является пересечением n-сферы мнимого радиуса с бесконечно удаленной плоскостью пространства nRn+1, дополняющей это пространство до проективного пространства Pn+1. Точки овальной ( п-1)-квадрики являются бесконечно удаленными точками пространства 1Sn, т. е. квадрика является абсолютом этого пространства. Внешняя область квадрики, дополняющая пространство 1Sn до полного пространства Р n наз. идеальной областью пространства 1Sn. Указанная интерпретация наз. проективной интерпретацией К э л и — Клейна. Она может быть получена также путем проектирования n-сферы мнимого радиуса пространства nRn+1 из ее центра на касательную n-плоскость, к-рая является евклидовым n-пространством; при этом пространство 1Sn изображается внутренней областью n-шара в этой n-плоскости, граница n-шара является абсолютом пространства 1Sn (иногда последнюю интерпретацию пространства 1Sn в евклидовом пространстве Rn наз. интерпретацией Бельтрами — К л е й н а). Проективная интерпретация 3-простран'ства Лобачевского позволяет проверить выполнение аксиом геометрии Лобачевского, дать изображение всех фигур этой геометрии и установить их свойства. В частности, в указанной интерпретации просто устанавливаются геометрич. свойства 2-плоскости Лобачевского, вытекающие из аксиом геометрии Лобачевского. Присоединением к пространству lSn точек абсолюта и точек идеальной области определяется расширенное Л. п. m-плоскость, m<n, пересекающаяся с абсолютом, наз. собственной m-плоскостью; не пересекающая абсолюта — идеальной m-плоскостыо; m-плоскость, касающаяся абсолюта, — изотропной m-плоскостью. Таким же образом классифицируются прямые пространства 1Sn. Полюсы собственных плоскостей являются идеальными точками, а собственные точки — полюсами идеальных плоскостей. Вообще, полярные (n- т-1)-плоскости собственных m-плоскостей Л. п. 1Sa суть идеальные (n-т-1)-плоскости, и полярные (n- т-1)-плоскости идеальных m-плоскостей — собственные (n- т-1)-плоскости. В пространстве 1Sn в качестве координат точки Xможно рассматривать координаты вектора жэтой точки в пространстве nRn+1, принадлежащей n-сфере мнимого радиуса. Координаты вектора x(Вейерштрасса координаты).при этом должны удовлетворять условию Используются также координаты Бельтрами, . причем В пространстве 1Sn вводятся декартовы координаты u1, u2, . . ., un, связанные с координатами х i соотношениями где — радиус кривизны пространства 1Sn. Расстояние между точками Xи Yопределяется соотношением где х, у — определенные выше векторы точек Xи У, Е — линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов. Угол между двумя плоскостями Л. п. 1Sn совпадает с углом между re-плоскостями псевдоевклидова пространства nRn+1, соответствующим этим плоскостям. Угол j между плоскостями связан с расстоянием между полюсами этих плоскостей соотношением когда угол j — действительный, а — чисто мнимое, и когда угол j — чисто мнимый, а расстояние — действительное. Расстояние между точками и величины углов между плоскостями допускают выражения через двойное отношение точек с помощью точек абсолюта. В Л. п. 1Sn определяются сферы (шары), эквидистантные поверхности, орисферы (орициклы при n=2), m-симплексы и т. д. Классификация движений Л. п. 1Sn как коллинеаций, переводящих точки абсолюта (овальной квадрики) в себя, сводится к классификации вращений псевдоевклидова пространства nRn+1. Группа движений пространства 1Sn изоморфна факторгруппе группы вращений пространства nRn+1 по ее подгруппе, состоящей из тождественного преобразования и отражения от точки; состоит из двух связных компонент, является группой Ли. Движения Л. п. 1Sn описываются псевдоортогональными операторами индекса n. Для задания движения пространства 1Sn достаточно указать, в какие точки переходят n+1 точек, не лежащих в одной ( п-1)-плоскости. Существует ряд конформных интерпретаций Л. п., одной из к-рых является Пуанкаре интерпретация. Возможна также конформная интерпретация пространства на его плоскости. Кроме указанных существуют интерпретации в комплексных пространствах. В частности, для пространства 1S3 строятся Котелъникова интерпретации многообразий прямых. С помощью проективных интерпретаций наиболее полным образом классифицируются квадрики в пространстве 1Sn и, в частности, на 2-плоскости 1S2. Пространство 1Sn является римановым n-пространством постоянной отрицательной кривизны где — радиус кривизны пространства. Геометрия Л. п. в достаточно малых окрестностях точек близка к геометрии евклидова пространства такой же размерности. В целом пространство 1Sn гомеоморфно пространству Rn, оно бесконечно простирается во всех направлениях. Всякая m-плоскость пространства 1Sn, m<n, является пространством 1S т. Кроме того, прямые линии пространства 1Sn являются его геодезич. линиями, а m-плоскости — вполне геодезич. m-поверхностями этого пространства. В проективной классификации метрик неевклидовых пространств Л. п. также классифицируется по метрикам прямых, пучков плоскостей и m-плоскостей. В частности, на 2-плоскости Л. п. проективная метрика на прямой является гиперболической, а в пучках прямых — эллиптической. Лит.:[1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [2] K л е й н Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1986; [3] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1-2, М.-Л., 1949 — 56; [4] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.