ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА

Теорема механики, утверждающая, что фазовый объём системы, подчиняющейся ур-ниям механики в форме Гамильтона (см. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ), остаётся постоянным при движении системы. Теорема установлена франц. учёным Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1838.

Состояние механич. системы, определяемое обобщёнными координатами q1, q2, . . . , qN и канонически сопряжёнными обобщёнными импульсами р1, р2,... , PN (где N — число степеней свободы системы), можно изобразить точкой с координатами q1, q2, ... , qN, p1, p2, ... pN в пр-ве 2N измерений, наз. фазовым пространством. Изменение состояния системы во времени представится как движение такой фазовой точки в 2N-мерном пр-ве. Если в нач. момент времени фазовые точки р°, q° непрерывно заполняли нек-рую область G0 в фазовом пр-ве, а с течением времени перешли в др. область Gt этого пр-ва, то, согласно Л. т., соответствующие фазовые объёмы — 2N-мерные интегралы — равны между собой:

?G0dp0dq0=?G1dpdq.

Т. о., движение точек, изображающих состояния системы в фазовом пр-ве, подобно движению несжимаемой жидкости. Л. т. позволяет ввести функцию распределения плотности вероятности нахождения фазовой точки в элементе фазового объёма dpdq и поэтому явл. основой статистической физики.