Линейная Система

Семейство эффективных линейно эквивалентных дивизоров на алгебраич. многообразии, параметризованное проективным пространством. Пусть X — неособое алгебраич. многообразие над полем k, — обратимый пучок на X, Г (X, ) — пространство глобальных сечений пучка а — некоторое конечномерное подпространство. Если dimL>0, то дивизоры, определяемые нулями сечений из L, линейно эквивалентны и эффективны. Линейной системой наз. проективное пространство одномерных подпространств в L, параметризующее эти дивизоры. Если то Л. с. наз. полной; она обозначается также |L|. Пусть s0, . . ., sn — базис в L. Он определяет рациональное отображение по формуле Обычно говорят, что задано Л. с. |L|. Образ не лежит ни в какой гиперплоскости в Р п (см. [2]). Обратно, каждое рациональное отображение обладающее этим свойством, задается нек-рой Л. с. Неподвижной компонентой Л. с. |L| наз. такой эффективный дивизор D* на X, что D=D+D* для любого где D' — эффективный дивизор. Когда Dпробегает Л. с. |L|, дивизоры D' образуют нек-рую Л. с. |L'| той же размерности, что и Л. с. |L|. Отображение совпадает с Поэтому при рассмотрении отображения можно предполагать, что Л. с. |L| не имеет неподвижных компонент. В этом случае jL не определено в точности на базисном множестве Л. с. |L|. Примеры. 1) Пусть Х=Р 2 и тогда сечения ) отождествляются с формами степени dна Р 2, а полная Л. с. — с множеством всех кривых степени d. 2) Стандартное квадратичное преобразование т: (см. Кремоново преобразование).задается Л. с. коник, проходящих через точки (О, О, 1), (О, 1, 0), (1, 0, 0). 3) Инволюция Гейзера задается Л. с. кривых степени 8, проходящих с кратностью 3 через 7 точек в общем положении. 4) Инволюция Бертини задается Л. с. кривых степени 17, проходящих с кратностью 6 через 8 точек в общем положении. Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75); [2] М а м ф о р д Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [3] Zariski О., Algebraic surfaces, 2 ed., В.- Hdlb. — N. Y., 1971. В. А. Псковских.