Линейная Регрессия

Одной случайной переменной Y=(Y(1), ..., Y(m))' по другой Х=(Х (1), ..., Х (p))' — линейная по xm-мерная векторная форма, описывающая зависимость условного математич. ожидания (при условии Х=x).случайного вектора Y от значений x = (х (1) ..., х (p))'. Соответствующие уравнения наз. уравнениями линейной регрессии Y по X, а параметры bkj — коэффициентами регрессии (см. также Регрессия). В приложениях допускается интерпретация переменной X как наблюдаемого параметра (не обязательно случайного), от к-рого зависит математич. ожидание исследуемого результирующего показателя Y(X). Кроме того, часто под Л. р. Y(k) по X понимают "наилучшую" (в определенном смысле) линейную аппроксимацию Y(k) посредством величин X или результат наилучшего (в определенном смысле) выравнивания имеющейся системы экспериментальных точек ("наблюдений") с помощью гиперплоскости в пространстве в ситуациях, когда интерпретация совокупности этих точек как выборки из соответствующей генеральной совокупности может и не быть правомочной. При таком определении приходится различать разные варианты Л. р. в зависимости от выбора способа вычисления ошибки линейной аппроксимации Y(k) посредством величин X (или в зависимости от конкретного выбора критерия качества выравнивания). Наиболее распространенными критериями качества аппроксимации Y(k) с помощью линейных комбинаций X (линейного выравнивания точек ) являются: В этих соотношениях выбор "весов" w(X) или wi зависит от природы конкретной исследуемой схемы. Так, напр., если Y(k)(X) интерпретируются Как случайные величины, дисперсия к-рых (или их оценки) известны, то В последних двух критериях "невязки" аппроксимации или выравнивания измеряются расстояниями от Y(k)(X )или до искомой гиперплоскости регрессии. Если коэффициенты bki определяются из условия минимизации величин то Л. р. наз. средней квадратической; при использовании критериев Л. р. наз. средней модульной (или средней абсолютной); при использовании критериев — ортогональной. В не-к-рых случаях Л. р. в классич. смысле (*) совпадает с Л. р., определенной с использованием функционалов типа Qi. Так, напр., если вектор подчиняется многомерному нормальному закону, то регрессия Y(k) по X в смысле (*) совпадает со средней квадратичсской Л. р. (при w(X)=1). Лит.: [1] Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; [2] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] К е н-далл М. Д ж., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; [4] Р а о С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968. С. А. Айвазян.