Линейная Независимость

Одно из основных понятий линейной алгебры. Пусть V — векторное пространство над полем k;векторы а 1, . . ., а n наз. линейно независимыми, если для любого набора кроме k1=. . .=kn=0. В противном случае векторы a1, . . ., а п наз. лине й-н о зависимыми. Векторы a1, . . ., а п линейно зависимы в том и только в том случае, когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных. Бесконечное подмножество векторов из Vназ. линейно зависимым, если линейно зависимо его нек-рое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо. Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и наз. рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базой). В частном случае, когда векторы a1, . . ., а п — элементы нек-рого числового поля К,a k — подполе в К, возникает понятие линейной независимости ч и с е л. Л. н. чисел над полем рациональных чисел Qможно рассматривать также, как обобщение понятия иррациональности. Так, числа a и 1 линейно независимы тогда и только тогда, когда a иррационально. Понятие линейной зависимости и независимости элементов вводится также в абелевых группах и модулях. Линейная зависимость — частный случай более широкого понятия — абстрактного отношения зависимости на множестве. О. А. Иванова.