Линделёфа Теорема

Об асимптотических значениях: 1) Пусть w=f(z) — ограниченная регулярная аналитич. функция в единичном круге и пусть a — асимптотич. значение f(z) вдоль жорданового пути L, расположенного в Dи оканчивающегося в точке когда вдоль L. Тогда а есть угловое предельное значение функции f(z) в точке т. е. f(z) равномерно стремится к a, когда внутри любого угла с вершиной образованного двумя хордами круга Эта Л. т. верна и в областях Dдругих типов, причем условия на f(z) удается значительно расширить. Достаточно, напр., потребовать, чтобы f(z) была мероморфной функцией в D, не принимающей трех различных значений. Л. т. обобщается также для функций f(z) многих комплексных переменных, z=(z1, ..., zn). Напр., если f(z) — ограниченная голоморфная функция в шаре имеющая асимптотич. значение авдоль некасательного пути Lв точке то а есть некасательное предельное значение f(z) в точке z (см. [4]). 2) Пусть w=f(z) — ограниченная регулярная аналитич. функция в круге имеющая вдоль двух различных путей L1 и L2, оканчивающихся в точке , асимптотич. значения Тогда и равномерно внутри угла между путями L1 и L2. Эта Л. т. верна и для областей Dдругих типов. Для неограниченных функций она, вообще говоря, неверна. Л. т. найдены Э. Линделёфом [1]. Лит.:[1] Lindelof E., "Acta Soc. sclent, fennica", 1915, t. 46, № 4; [2] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Коллингвуд Э. Ф., Ловатер А. Д ж., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [4] X е н к и н Г. М., Чирка Е. М., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 13-142. Е. Д. Соломенцев.