Ли Группа

Группа G, обладающая такой структурой аналитического многообразия, что отображение прямого произведения в Gана-литично. Другими словами, Ли г.- это множество, наделенное согласованными структурами группы и аналитич. многообразия. Ли г. наз. вещественной, комплексной или р-адической в зависимости от поля, над к-рым рассматривается ее аналитич. многообразие. В дальнейшем, как правило, рассматриваются вещественные Ли г. (всякая комплексная Ли г. естественно наделяется структурой вещественной Ли г.- с помощью конструкции ограничения основного поля; о Ли г. над полями р-адических чисел см. Ли р-адическая группа. Аналитическая группа). Примеры Ли г. Полная линейная группа над полем действительных чисел (см. Линейная группа).и се подгруппы, замкнутые в естественной евклидовой топологии. Основные понятия теории Ли г. введены в математику в 70-е гг. 19 в. С. Ли (S. Lie). Ли г. возникли в связи с проблемой разрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах и исследованием непрерывных групп преобразований. Успешное применение теории групп к решению алгебраич. уравнений высших степеней, выразившееся в создании теории Галуа, повлекло за собой попытку построения аналога теории Галуа для дифференциальных уравнений. И хотя группы в теории дифференциальных уравнений заняли несколько иное место, нежели в теории алгебраич. уравнений, это привело к созданию теории Ли г., а также теории алгебраич. групп, глубоко связанных со многими областями математики. Первоначально Ли г. определялись как локальные группы преобразований, т. е. как семейства локальных аналитич. реобразований re-мерного пространства (или ), аналитически зависящих от конечной системы параметров, причем требовалось, чтобы параметры произведения преобразований выражались через параметры сомножителей посредством аналитич. функций. Позже перешли к абстрактному рассмотрению Ли г., но также с локальной точки зрения (см. Ли локальная группа). Системами, исследование глобального строения Ли г. первыми начали Э. Картан (Е. Cartan) и Г. Вейль (Н. Weyl). Первое современное изложение теории Ли г. было дано в 1938 Л. С. Понтрягиным (см. [1]). Возникает вопрос, не приведет ли замена аналитичности многообразия G и отображения m дифференциру-емостью к расширению класса Ли г.? Этот вопрос был решен еще С. Ли: если m дважды непрерывно дифференцируемо, то G является Ли г. Значительно более сложной оказалась пятая проблема Г и л ь б е р т а: пусть Gесть и-мерное топологич. многообразие и отображение непрерывно, будет ли GЛи г.? Для компактных групп эта проблема была решена положительно Дж. Нейманом (J. Neumann) в 1933, а для локально компактных абелевых групп — Л. С. Понтрягиным в 1934. В общем случае положительное решение было получено в 1952 А. М. Г лис оном (А. М. Gleason), Д. Монтгомери и Л. Зиппином (см.[13], а также [18]). Таким образом, можно определить Ли г. как топологич. группу, топологич. пространство к-рой является конечномерным (или локально евклидовым) многообразием, что весьма важно для общей теории топологич. групп. Подмножество НЛи г. Gназ. подгруппой (точнее, подгруппой Ли), если H является подгруппой абстрактной группы Gи подмногообразием аналитич. многообразия G. М о р ф и з м Л и г. G1 Ли г. G2- это аналитич. отображение являющееся гомоморфизмом абстрактных групп; если к тому же f биективно, а f-1 аналитично, то f наз. и з о м о р ф и з м о м Ли г.; в случае локальной биективности f, говорят, что Ли г. G1 и G2 локально и з о м о р ф н ы. Пусть H — замкнутая нормальная подгруппа Ли г. G. Тогда факторгруппа G/H наделяется такой структурой аналитич. многообразия, что G/H превращается в Ли г., а канонич. отображение является морфизмом. Размерностью Ли г. G наз. размерность G как аналитич. многообразия. В дальнейшем рассматриваются только конечномерные Ли г., хотя многие результаты обобщаются на случай Ли банаховых групп. Соответствие между группами и алгебрами Ли. Основным методом исследования в теории Ли г. является инфинитезимальный метод, созданный С. Ли. Этот метод позволяет в значительной мере редуцировать изучение такого сложного объекта, как Ли г., к изучению чисто алгебраич. объекта — Ли алгебры. Каждой Ли г. G сопоставляется алгебра Ли L(G), к-рая строится следующим образом (см. также Ли алгебра аналитической группы). Левоинвариантным векторным полем на G наз. векторное поле, инвариантное относительно дифференциалов левых сдвигов, т. е. X — левоинвариантное векторное поле, если для любых g,. где Lg(h)=gh. Левоинвариантные векторные поля на G образуют векторное пространство, к-рое можно отождествлять с касательным пространством Т е(G).в единице егруппы G, сопоставляя полю Xего значение в е. Если X, то скобка Ли также будет левоинвариантным полем и это задает в Te(G).билинейную операцию, относительно к-рой Te(G).становится алгеброй Ли L(G) (здесь о означает композицию векторных полей, рассматриваемых как дифференцирования алгебры бесконечно дифференцируемых дей-ствительно-значных функций на многообразии G). Можно дать более явную конструкцию операции коммутирования [X, Y]в L(G). Пусть x(t), y(t).-интегральные кривые полей X, Y в G, проходящие через единицу группы. Тогда [X, Y]будет касательным вектором в точке ек кривой Восстановить группу Ли G по ее алгебре Ли L(G).позволяет экспоненциальное отображение сопоставляющее полю элемент х(1) его интегральной кривой x(t). Если G — линейная Ли г., т. е. подгруппа полной линейной группы то L(G) отождествляется с подалгеброй полной матричной алгебры Ли и экспоненциальное отображение принимает вид Отображение ехр : аналитично и локально изоморфно, и поэтому определяет в окрестности единицы группы G локальную карту (каноническне координаты). Согласно Кэмпбелла — Хаусдорфа формуле запись умножения в G в канонич. координатах, т. е. отображение выражается через операции в алгебре Ли L(G). Таким образом, локально Ли г. полностью определяется своей алгеброй Ли. Соответствие между группами и алгебрами Ли обладает глубокими функториальными свойствами. Ли г. определяется своей алгеброй Ли с точностью до локального изоморфизма; в частности, если Ли г. G1 и G2 связны и односвязны, то из изоморфизма их алгебр Ли следует изоморфизм Связные подгруппы Ли г. G взаимно однозначно соответствуют подалгебрам алгебры Ли L(G). Пусть — морфизм двух Ли г. Тогда дифференциал морфизма в единице оказывается гомоморфизмом алгебр Ли: Вообще говоря, не всякий гомоморфизм имеет вид dfe, однако в случае односвязной группы Gl это так. Связная подгруппа Нсвязной Ли г. G тогда и только тогда нормальна, когда L(H).является идеалом в алгебре Ли L(G); если к тому же Н замкнута в G, то По построению алгебра Ли L(G).данной Ли г. G является аналитически инвариантной. В действительности же L(G).топологически инвариантна, что непосредственно вытекает из следующей теоремы Картана: непрерывное гомоморфное отображение (вещественной) Ли г. Gв Ли г. H является морфизмом. Для комплексных Ли г. последнее утверждение не всегда верно, хотя оно сохраняет силу для р-адических Ли г. (см. [3]). Группа автоморфизмов Aut(G) связной Ли г. Gявляется Ли г., к-рая отождествляется с подгруппой группы Aut(L(G)). В частности, если Ли г. Gодносвязна, то где D(L(G))обозначает алгебру Ли дифференцирований алгебры L(G). Соответствие где Int(g) — внутренний автоморфизм, порожденный элементом наз. присоединенным представлением Ли г. G; его дифференциал будет присоединенным представлением алгебры Ли L(G). Глобальное строение групп Ли. Важным результатом здесь является теорема существования глобальной Ли г. с заданной вещественной алгеброй Ли, доказанная в 1930 Э. Картаном. Он показал также, что замкнутая подгруппа вещественной Ли г. является подгруппой Ли. К этому времени выявилась особая роль двух типов Ли г.: полупростых и разрешимых (см. Ли полупростая группа, Ли разрешимая группа). Связная Ли г. G наз. полупростой, если она не содержит неединичных связных разрешимых нормальных подгрупп; если к тому же G не содержит и других нетривиальных связных нормальных подгрупп, то она наз. простой. Алгебра Ли L(G).полупростой, простой или разрешимой Ли г. G является соответственно полупростой, простой или разрешимой алгеброй Ли. Исследование произвольных Ли г. в существенной степени сводится к изучению полупростых и разрешимых. Всякая Ли г. G обладает наибольшей связной разрешимой нормальной подгруппой, к-рая наз. разрешимым радикалом и обозначается R(G). В группе G существуют максимальные полупростые подгруппы. Если S — одна из них. то причем все максимальные полупростьте подгруппы сопряжены; если G односвязна, то и произведение будет полупрямым (теорема Леви — Мальцева). Существование этого разложения доказано впервые Э. Леви (Е. Levi) в 1905 для комплексных алгебр Ли, сопряженность полупростых компонент установлена А. И. Мальцевым в 1942 (см. [16], а также Леви- Мальцева разложение). Наиболее общий факт о разрешимых Ли г. получен еще С. Ли: всякая связная разрешимая линейная группа над иолом приводится к треугольному виду, т. е. описание связных разрешимых Ли г. сводится к описанию подгрупп полной треугольной группы Детальное исследование разрешимых Ли г. провел А. И. Мальцев в [16]. При изучении строения полупростых Ли г. важную роль играют их максимальные компактные подгруппы, изученные Э. Картаном в тесной связи с теорией симметрич. пространств (см. [10]). Согласно классич. теореме Картана максимальные компактные подгруппы полупростой Ли г. G сопряжены; если В — максимальная компактная подгруппа в G, то существует такое подмногообразие аналитически изоморфное евклидову пространству, что G=BE, причем отображение является изоморфизмом аналитич. многообразий. Таким образом, топологич. строение группы G определяется топологич. строением группы В. А. И. Мальцев [16] распространил теорему Картана на произвольные связные Ли г. Другое разложение связной Ли г. в произведение максимальной компактной подгруппы и евклидова пространства было найдено К. Ивасевой (см. Ивасаеы разложение). Линейная представимость. С самого начала развития теории Ли г. было ясно, что произвольные Ли г. близки к линейным группам Ли. С. Ли доказал, что во многих случаях Ли г. локально изоморфны линейным Ли г. Общая теорема была получена И. Д. Адо в 1935: всякая Ли г. локально изоморфна линейной (см. [15]). В то же время нетрудно указать примеры Ли г., не являющихся линейными: такой будет односвязная накрывающая группы или (в случае поля ) комплексный компактный тор. Если G — односвязная разрешимая группа Ли, то всякая ее подгруппа Ли односвязна и изоморфна линейной группе Ли. В общем случае найден следующий критерий для линейной представимости [16]: связная Ли г. G тогда и только тогда является линейной, когда линейны ее радикал R (G) и полупростая факторгруппа G/R(G);в свою очередь, для линейной представимости радикала R(G).необходимо и достаточно, чтобы его коммутант был односвязен, а линейность полупростой Ли г. G/R(G).зависит от строения ее центра. Компактные, а также комплексные полупростые Ли г. не только линейны, но и являются линейными алгебраическими группами[12]. Классификация. Одной из главных проблем теории Ли г. является проблема классификации произвольных связных Ли г. с точностью до изоморфизма. В классе всех локально изоморфных связных Ли г., имеющих одну и ту же алгебру Ли, существует единственная односвязная Ли г. G0, и всякая Ли г. G из этого класса изоморфна G0/N, где N — нек-рая дискретная центральная нормальная подгруппа. Поэтому классификация Ли г. сводится к классификации конечномерных алгебр Ли и вычислению центров односвязных Ли г. С другой стороны, она сводится к классификации двух принципиально различных типов групп: полупростых и разрешимых (см. Ли полупростая группа, Ли разрешимая группа). На первый взгляд разрешимые Ли г. устроены проще и их классификация, казалось бы, не должна быть трудной. Однако это впечатление обманчиво и пока (1982) нет никакой надежды получить классификацию разрешимых Ли г. Полупростые Ли г., напротив, удалось полностью классифицировать. Полную классификацию комплексных полупростых алгебр Ли получил В. Киллинг (W. Killing) в 1888-90 (см. [1], [3]). Так как комплексная полупростая алгебра Ли является прямой суммой простых подалгебр, то достаточно классифицировать простые алгебры Ли. Оказалось, что существует лишь девять различных типов комплексных простых алгебр Ли, а именно, четыре бесконечные серии и пять исключительных алгебр (см. также Ли полупростая алгебра). Бесконечным сериям комплексных простых алгебр Ли соответствуют классические линейные группы Ли. Соответствующие односвязные группы имеют вид: тип тип обозначает спинорную группу, соответствующую невырожденной квадратичной форме f2n+1 размерности 2n+1; тип С п — симплектическая группа степени 2n; тип Dn -Spin (f2n)- Нетрудно вычисляются центры этих групп. Напр., центр — циклич. группа порядка n+1, а центры Spin (f2n+1) и симплектич. группы — циклич. группы 2-го порядка. Так получается классификация комплексных полупростых Ли г. Классификация вещественных полупростых Ли г. оказывается значительно сложнее и опирается на классификацию их вещественных форм. Наиболее важен здесь факт существования у всякой комплексной полупростой группы G единственной компактной вещественной формы В;. это означает, что алгебра Ли L(G).изоморфна т. е. получается комплексификацией алгебры Ли L(B). Основываясь на этом, Э. Картан в 30-х гг. 20 в. получил полную классификацию вещественных форм комплексных полупростых Ли г. В терминах Галуа когомологий это равносильно описанию множества (см. также Линейная алгебраическая группа). Впоследствии метод Киллинга был усовершенствован Э. Картаном и Г. Вейлем, что дало возможность решить ряд других классификационных проблем, а также развить важную теорию представлений Ли г. Получена классификация полупростых подгрупп классич. комплексных простых Ли г. (см. [17]). Современное развитие и применения. В 50-х гг. 20 в. в теории Ли г. начался новый этап развития, что выразилось, в частности, в создании теории алгебраич. групп (см. Линейная алгебраическая группа). Еще ранее К. Шевалле (С. Chevalley, см. [12]) детально объяснил алгебраич. природу основных результатов теории Ли. Привлечение методов алгебраич. геометрии позволило по-новому осветить эти классич. результаты и открыло новые глубокие связи с теорией функций, теорией чисел и т. д. Значительное развитие получила теория р-адических групп Ли (см. [3], [6]). Ли г. связаны практически со всеми основными разделами математики: с геометрией и топологией — через теорию Ли групп преобразований, с анализом — через теорию линейных представлений и т. д. Чрезвычайно важны также разнообразные применения Ли г. в физике и механике. Лит.:[1] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [2] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [3] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., [гл. 1-8], М., 1972-78; [4] В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [5] В и г н е р Е., Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров, пер. с англ., М., 1961; [6] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [7] С т е й н б е р г Р., Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., М., 1975; .[8] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1962; [9] Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1986; [10]Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [11] Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, М.- Л., 1940; [12] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ. и франц., т. 1-3, М., 1948-58; [13] Hochschild G., The Structure of Lie Groups, S. F., 1965; [14] Montgomery D., Z i р р i n L., Topological transformation groups, N. Y. — L., 1955; [15] А д о И. Д., "Изв. Физ.-матем. об-ва" (Казань), 1935, т. 7, с. 1-43; [16] Мальцев А. И., "Матем. сб.", 1945. т. 16, с. 163-90; [17] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1944, т. 8, № 4, с. 143-74; [18] Скляренко Е., в кн.: Проблемы Гильберта, М., 1969, с. 101 — 15. В. П. Платонов.