Ли Дифференцирование

Естественная операция на дифференцируемом многообразии, сопоставляющая дифференцируемому векторному полю Xи дифференцируемому геометрич. объекту Qна многообразии Мнек-рый новый геометрич. объект описывающий скорость изменения геометрич. объекта Qотносительно однопараметрич. группы преобразований jt многообразия М, порожденной полем X. Геометрич. объект . наз. производной Ли геометрического объекта Qотносительно векторного поля X. В частном случае, когда Qесть векторнозначная функция на М, ее производная Ли совпадает с производной функции Qпо направлению векторного поля Xи задается формулой где — локальная однопараметрич. группа преобразований многообразия М, порожденная полем X, или в локальных координатах х i — формулой В общем случае определение Ли д. состоит в следующем. Пусть W — нек-рое GLk(n)-пространство, т. е. многообразие с фиксированным действием полной дифференциальной группы GLk(n) порядка k(группы k-струй в нуле диффеоморфизмов ). Пусть ' — геометрич. объект порядка kтипа wна n-мерном многообразии М, рассматриваемый как GLk(n)-эквивариантвое отображение главного GLk(n)-расслоения кореперов PkM k-то порядка на Мв W. Локальная однопараметрич. группа преобразований многообразия М, порожденная векторным полем Xна М, индуцирует локальную однопараметрич. группу преобразований многообразия кореперов PkM. Ее поле скоростей наз. полным лифтом поля Xна PkM. Производная Ли геометрич. объекта Qтипа Мотносительно-векторного поля Xна Мопределяется как геометрич. объект . типа TW (где TW — касательное расслоение многообразия W, рассматриваемое естественным образом как GLk(n)-пространство), задаваемый формулой Значение производной Ли в точке зависит, и притом линейно, только от 1-струи в точке Pk отображения Qи от значения в этой точке векторного поля Х (k) (или, что эквивалентно, от k-струи поля Xв соответствующей точке ). Если геометрич. объект Qлинеен, т. е. соответствующее GLk(n)-пространство Wявляется векторным пространством с линейным действием группы GLk(n), то-касательное многообразие TW естественным образом отождествляется с прямым произведением , и поэтому производную Ли можно рассматривать как пару геометрич. объектов типа W. Первый из них есть само Q, а второй, обычно отождествляемый с самой производной Ли линейного геометрич. объекта Q, равен производной функции Qпо направлению векторного поля Х (k): Таким образом, производную Ли линейного геометрич. объекта можно рассматривать как геометрич. объект того же типа, что и Q. Локальные координаты х i в многообразии Мопределяют локальные координаты в многообразии Р 1 М кореперов 1-го порядка: В этих координатах производная Ли любого геометрич. объекта 1-го порядка (напр., тензорного поля) по направлению векторного поля задается формулой где Аналогичная формула справедлива для производной Ли геометрич. объекта любого порядка. Производная Ли в пространстве дифференциальных форм на многообразии Мвыражается через оператор внешнего дифференцирования dи оператор внутреннего умножения (определяемый как свертка векторного поля с дифференциальной формой) с помощью следующей формулы гомотопии: Обратно, оператор внешнего дифференцирования dr действующий на р-форму со, выражается через Ли д. по формуле где означает, что соответствующий символ должен быть пропущен, — векторные поля. В отличие от ковариантного дифференцирования, требующего введения связности, операция Ли д. определяется структурой дифференцируемого многообразия, а производная Ли геометрич. объекта Qпо направлению векторного поля Xявляется конкомитантом геометрич. объектов Xи Q. Лит.:[1] Slebodzinski W., "Bull. cl. sci.Acad. roy. Belgique", 1931, v. 17, p. 864-70; [2] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 429-65; [3] Y a n о К., The theory of Lie derivatives and its applications, Amst., 1957; [4]. Стсрнберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [5] Вагнер В., "Докл. АН СССР", 1945, т. 46, с. 383-86; [6] Лаптев Б. Л., "Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу", 1956, т. 10, с. 227-48; [7] Евтушик Л. Е. "Докл. АН СССР", 1960, т. 132, с. 998 — 1001; [8] Р а 1 a i s R. S., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1954, v. 5, p. 902-08. Д. В. Алексеевский.