Ли Алгебра

Лиева алгебра,- унитарный k-модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к-рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у, z]]+[ у,[z, х}] +[z,[ х, у]] = 0 (тождество Якоби). Таким образом, Ли а. является алгеброй над k(не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли. Ли a. Lназ. коммутативной, если [ х, у] = 0 для всех х, Наиболее важным является случай, когда k — поле (в особенности .. или ), a L — векторное пространство (вообще говоря, бесконечномерное) над k. Ли а. появились в математике в кон. 19 в. в связи с изучением Ли групп (см. также Ли локальная группа, Ли группа преобразований, Ли теорема), а в неявной форме несколько раньше в механике. Общей предпосылкой возникновения этого понятия было понятие "инфинитезимального преобразования", восходящее по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. Замкнутость интегралов класса С 2 уравнения Гамильтона относительно скобок Пуассона, удовлетворяющих тождеству Якоби, — одно из самых ранних замечаний, выраженное, собственно, на языке Ли а. (см. [8], [10]). Сам термин "Ли а." был введен Г. Вейлем (Н. Weyl) в 1934 (до этого времени использовались термины "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы", или "инфинитезимальная группа"). С течением времени роль Ли а. возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. Этим в первую очередь объясняется особое место Ли а. среди многих других многообразий универсальных алгебр. В наше время аппарат Ли а. воспринимается уже не только как полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач (будь то в теории групп Ли или в значительной мере поглотившей ее и чрезвычайно разросшейся теории алгебраических групп, или же в стоящей несколько особняком теории конечных групп);это также источник красивых и трудных задач линейной алгебры. Имеется несколько естественных источников, доставляющих важнейшие примеры Ли а. 1) В рамках общей алгебры значение Ли а. определяется прежде всего тем, что множество Dеr(A) всех дифференцирований любой k-алгебры является Ли а. с операцией Дифференцирования Ли a. Lвида наз. внутренними дифференцирования м и, или присоединенными эндоморфизмам и. Они образуют в Der(L) подалгебру ad L, а отображение является гомоморфизмом Ли а. (присоединенное представление Ли a. L);его образ ad Lизоморфен фактор-алгебре алгебры Lпо ее центру 2) Еще один существенный источник Ли а. связан со следующим простым наблюдением. Если L — ассоциативная алгебра над kс умножением то умножение в k-модуле L, задаваемое правилом наделяет Lструктурой Ли а. над k. Говорят, что (L,[ ,]) — Ли а., ассоциированная с ассоциативной алгеброй (L, Х). Так, классич. пример Ли a. (L,[ ,]) получится, если в качестве (L, Х).взять (ассоциативную) алгебру Mn(k).всех квадратных матриц порядка га над k. Следующие четыре бесконечные серии подалгебр в Ли а. указанного типа наз. классическими (k- поле нулевой характеристики): При этом Если, кроме того, поле kалгебраически замкнуто, то эти Ли а. замечательны тем, что ими и еще пятью Ли особыми алгебрами G2, F4, E6, Е 7, E8 размерностей 14, 52, 78, 133 и 248 соответственно исчерпываются, с точностью до изоморфизма, все простые (т. е. некоммутативные и не содержащие идеалов, отличных от 0 и самой алгебры) конечномерные Ли а. над k. 3) Еще один источник Ли а.- векторные поля на многообразии (см. [13], [14]). Пусть F — кольцо гладких функций на -гладком многообразии М. Векторное пространство Vect(M) всех -гладких векторных полей на Мобразует Ли а. относительно операции коммутирования (см. Ли скобка), играющую важную роль в теории многообразий; Ли a. Vect(M) совпадает с Ли a. Der(F). Эта алгебра, вообще говоря, бесконечномерна. Если М — группа Ли, то подпространство в Vect (М), состоящее из всех левоинвариантных векторных полей, является конечномерной подалгеброй и наз. алгеброй Ли группы Ли М;она играет важную роль в теории групп Ли, позволяя переформулировать многие свойства групп Ли в терминах Ли а. См. также алгебраической группы, аналитической группы. Если в приведенном выше примере заменить кольцо Fна коммутативную алгебру формальных степенных рядов над полем k, то вместо Vect(M) получается Ли a. Wn формальных векторных полей, состоящая из дифференциальных операторов Подалгебры состоящие из дифференцирований, аннулирующих соответственно внешние дифференциальные формы а также подалгебра дифференцирований, умножающих форму на элементы из вместе с алгеброй составляют важный класс простых бесконечномерных Ли а. (алгебры Ли к а р т а н о в с к о г о типа). Алгебра Wn наз. общей, Sn — специальной, Н п — г а м и л ь т о н о в о й, Kn -контактной. Эти алгебры встречались еще у С. Ли (S. Lie) при изучении псевдогрупп преобразований ( или ), а затем исследовались по разным поводам Э. Картаном (Е. Cartan) и др. (см. [15], [17], [18], [19]). 4) Следующая общая конструкция позволяет строить -алгебру Ли Lпо любой группе G;она находит применение в теории групп (см. Бёрнсайда проблема,[16]). Пусть — нижний центральный ряд группы G. Тогда L — это прямая сумма аддитивно записанных факторгрупп причем, по определению, произведение элементов есть элемент из Gi+j/Gi+j-1, являющийся классом коммутатора элементов представляющих соответственно хи у. На произвольные элементы из Lэта операция распространяется по дистрибутивности. Имеются (см. [16]) нек-рые обобщения этой конструкции. Строение алгебр Ли. Одним из общих результатов, показывающих, в частности, что конструкция 2) имеет в известном смысле универсальный характер, является Биркгофа — Витта теорема, согласно к-рой для любой Ли a. Lнад полем kсуществует такая ассоциативная k-алгебра U, что Lизоморфно вкладывается в Ли a. (U,[ ,]), ассоциированную с U. Если при этом Lконечномерна, то можно считать, что и Uконечномерна (см. Универсальная обертывающая алгебра). Пусть L — конечномерная Ли а. над полем kнулевой характеристики. Тогда Lлинейна, т. е. изоморфна подалгебре нек-рой Ли a. Mn(k).(теорема А д о). В Lимеется наибольший разрешимый идеал R, называемый радикалом (см. Ли разрешимая алгебра). Кроме того, в Lсуществует подалгебра S(называемая подалгеброй Лев и) такая, что L — прямая сумма векторных пространств Sи R, причем любая другая подалгебра с таким свойством переводится в Sавтоморфизмом алгебры L(теорема Леви — Мальцева). Подалгебра Sявляется полупростой (т. е. ее радикал равен нулю), и она может быть охарактеризована как максимальная полупростая подалгебра в L. Таким образом, Lявляется полупрямой суммой полупростой и разрешимой Ли а., что сводит задачу классификации конечномерных Ли а. над полем нулевой характеристики к описанию Ли а. этих двух типов. Хотя разрешимые Ли а. в нек-ром смысле "получаются" из тривиально устроенных одномерных (а именно, обладают цепочкой подалгебр таких, что Li — идеал в Li-1 и Li-1/Li одномерна); строение их настолько сложно, что к настоящему времени (1982) фактически отсутствует даже корректная постановка задачи о классификации разрешимых Ли а. Напротив, конечномерные полупростые Ли а. над полем нулевой характеристики допускают полное описание (см. Ли полупростая алгебра):всякая такая алгебра разлагается в прямую сумму простых идеалов (и обратно, прямая сумма простых Ли а.- полупроста). В случае алгебраически замкнутого поля все простые Ли а. явно перечислены (см. п. 2); в случае произвольного поля kимеется процедура их нахождения, с помощью к-рой в ряде случаев (напр., при ) также найдена явная классификация. Конечномерные Ли а. над полем характеристики p>0 исследованы значительно менее полно (даже для алгебраически замкнутых полей). Эти Ли а. обладают многими специфич. свойствами. Напр., весьма нетривиальным оказался даже вопрос описания полупростых Ли а. в терминах простых алгебр (см. [23]). При любом рсуществуют параметрич. семейства простых Ли а., попарно неизоморфных друг другу. Теория Ли а. для этого случая находится в процессе становления, причудливым образом отражая в себе черты двух разных классов комплексных Ли а.- конечномерных простых и бесконечномерных транзитивных простых, соответствующих примитивным псевдогруппам Ли (см. [17], [18], [19]). Изучение бесконечномерных Ли а. началось еще в 19 в. одновременно с изучением конечномерных. Такие Ли а. естественно появляются при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 Э. Картаном [20]. Эти алгебры обладают фильтрацией, для к-рой ассоциированная градуированная Ли а. имеет вид и транзитивна. Бесконечномерные градуированные Ли а. являются предметом интенсивных исследований, в к-рых обнаруживаются связи этих Ли а. не только с классическими геометрич. вопросами, но и со многими другими областями математики (см. Ли градуированная алгебра, а также [17], [22]). Важные примеры бесконечномерных Ли а. появлялись в последнее время в теории уравнений математич. физики (напр., для уравнения Кортевега — де Фриса) и в формальном вариационном исчислении (см. [14]). Абстрактная теория бесконечномерных Ли а. (см., напр., [9]) находится пока в начальной фазе своего развития. Для построения структурной теории Ли а. и для большинства приложений в физике важную роль играет теория представлений Ли а. См. также Супералгебра, Ли алгебр многообразие. Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., [гл. 1-8], М., 1972-78; [2] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Капланекий И., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. с англ., М., 1974; [4] Магнус В., Кар рас А., Солитэр Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974; [5] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [б] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1962; [7] С е р р Ж. П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [8] Ш е в а л л с К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М.,1958:[9] Amayo R. К., Stewart Ian, Infinite-dimensional Lie algebras, Leyden, 1974; [10] Humphreys J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory, N. Y.- Hdlb.- В., 1972; [11] Se1igman G. В., Modular Lie algebras, В.- Hdlb.- N. Y., 1967; [12] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [13] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [14] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, М., 1979; [15] Международный конгресс математиков. Ницца. 1970. Доклады советских математиков, М., 1972, с. 111-17; [16] Кострики н А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1957, т. 21, с. 289-310; 1959, т. 23, с. 3-34; 1970, т. 34, с. 744-56; [17] Гийемин В., "Математика", 1966, т. 10, № 4, с. 3-31; [18] К а ц В. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, с. 1323-67; 1974, т. 38, с. 800-34; [19] Кострикин А. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1969, т. 33, с. 251 — 322; [20] С a r t a n E., "Ann. Scient. Ecole norm. super.", 1909, t. 26, p. 93-161; [21] L a z a r d М., там же, 1954, t. 71, p. 101 — 90; [22] Singer I. M., Sternberg S., "J. Analyse Math.", 1965, v. 15, p. 1 — 114; [23] Block R. E., "Ann. Math.", 1969, v. 90, № 3, 433 — 59. А. И. Кострикин, В. Л. Попов.