Лежандра Многочлены

Сферические многочлены, — многочлены, ортогональные на сегменте [ -1,1] с единичным весом Стандартизованные Л. м. определяются Родрига формулой и имеют представление Наиболее употребительны формулы Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции где ряд в правой части сходится, если Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид Л. м. порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра) к-рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделения переменных. Ортонормированные Л. м. имеют вид и допускают равномерную и весовую оценки Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; есть теорема о равносходимости этих двух рядов, к-рая означает, что ряд Фурье — Лежандра функции f(х).в точке сходится тогда и только тогда, когда в точке сходится тригонометрия, ряд Фурье функции В окрестности концов положение иное, ибо последовательность возрастает со скоростью Если функция f(x).на гегменте [-1, 1] непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка то ряд Фурье — Лежандра сходится к функции f(х).равномерно на всем сегменте [-1, 1]. При условии этот ряд, вообще говоря, расходится в точках x=±1. Эти многочлены введены А. Лежандром [1]. Лит.:[1] Legendre А. М., "Memoires de mathematique et de physique, presentes a l'Academie royale des sciences par divers savants", 1785, t. 10, p. 411-34; [2] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; см. также лит. при статье Ортогональные многочлены. П. Я. Суетии.