Лёвнера Уравнение

Дифференциальное уравнение вида где — действительная непрерывная на интервале функция. Обобщением Л. у. является уравнение Куфарева — Лёвнера (у. К. — Л.): где — измеримая по tпри фиксированном wи регулярная по wфункция с положительной действительной частью, нормированная условием Р(0, t)=1. Л. у. и у. К.- Л., возникшие в теории однолистных функций, лежат в основе параметрич. метода исследования экстремальных проблем конформного отображения. Решение у. К.- Л., рассматриваемое как функция начального значения z, при всяком конформно отображает круг на однолистную односвязную область, принадлежащую кругу По формуле при надлежащем выборе Р(w, t).в у. К.- Л. и комплексных постоянных а, b можно получить произвольную регулярную однолистную функцию в круге Л. у. порождает на этом пути, в частности, конформные отображения круга на области, получаемые из всей плоскости проведением разреза вдоль нек-рой дуги Жордана (см. [1] — [4]). Дифференциальное уравнение с частными производными к-рому удовлетворяет функция также называют у. К.- Л. Л. у. было установлено К. Левнером [1]; у. К.- Л. впервые было получено П. П. Куфаревым (см. [5]). Лит.:[1] L o w n e r К., "Math. Ann.", 1923, Bd 89, № 2, S. 103-21; [2] К у ф а р е в П. П., "Ученые зап. Томск, ун-та", 1947, т. 5, с. 20-21; [3] Р о m m е r е n k е С., "J. reine und angew. Math.", 1965, Bd 218, S. 159-73; [4] Г у т л я н с к и й В. Я., "Докл. АН СССР", 1970, т. 194, № 4, с. 750 — 53; [5] Куфарев П. П., "Матем. сб.", 1943, т. 13, № 1, с. 87 — 118; [6] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2изд., М., 1968. В. Я. Гутлянский.