Лёвнера Метод

Метод Лёвнера параметрических представлений однолистных функций, параметрический метод Лёвнер а,- метод в теории однолистных функций, заключающийся в использовании Лёвнера уравнения для решения экстремальных задач. Метод был предложен К. Лёвнером [1]. Он основан на том, что множество функций f(z), f(0) = 0, регулярных и однолистных в круге и отображающих Ена области типа (s), получаемые из круга проведением разреза вдоль части нек-рой жордановой дуги, исходящей из точки окружности и пепроходящей через точку w=0, плотно (в топологии равномерной сходимости функций внутри круга Е).во всем семействе функций f(z), f(0) = 0, регулярных и однолистных в Еи таких, что в Е. Связывая длину удаляемой дуги с параметром t, удается установить, что функция w=f(z), f(0) = 0, однолистно отображающая Ена область Dтипа (s), является решением дифференциального уравнения (см. Лёвнера уравнение) f(z, t0) = f(z), удовлетворяющим начальному условию f(z, 0)=z. Здесь k(t).- непрерывная комплекснозначная функция на промежутке [0, t0], соответствующая области D, причем К. Лёвнер использовал этот метод для получения точных оценок коэффициентов с3 и b п, n=2, 3,. . ., разложений в классе Sфункций w=f(z), f(0)=0, f(0)=1, регулярных и однолистных в Е. Л. м. был использован (см. [3]) для получения основных результатов теории однолистных функций (теорем искажения, взаимного роста, теорем вращения). Пусть S'- подкласс функций f(z) класса S, имеющих в Епредставление где f(z, t).как функция от z регулярна и однолистна в Е,а как функция от является решением дифференциального уравнения (*), удовлетворяющим начальному условию f(z, 0) = z; k(t).в уравнении (*) — любая комплекснозначная функция, кусочно непрерывная и по модулю равная единице на промежутке Для того чтобы оценить какую-либо величину в классе S, достаточно оценить ее в подклассе S', поскольку любую функцию f(z) класса Sможно аппроксимировать функциями каждая из к-рых однолистно отображает Ена плоскость wс разрезом по жордановой дуге, уходящей в и не проходящей через w=0, а значит и функциями При этой аппроксимации оцениваемые величины для аппроксимирующих функций сходятся к той же величине, что и для функции f(z). Л. м. используется в работах по теории однолистных функций (см. [3] с. 536-37); он часто приводит к успеху при получении явных оценок, но, как правило, не обеспечивает описания всех экстремальных функций и полной информации об их единственности. Для полного решения экстремальных задач Л. м. обычно сочетают с вариационным методом (см. [3] с. 538- 539 и Вариационно-параметрический метод). Л. м. распространен на двусвязные области. Получено обобщенное уравнение типа уравнения Лёвнера для многосвязных областей, для автоморфных функций (см. [4]). Лит.:[1] L o w n e r К., "Math. Ann.", 1923, Bd 89, S. 103- 21; [2] P e s с h 1 E., "J. reine und angew. Math.", 1936, Bd 176, S.61-94; [3] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [4] Александров И. А., Параметрические продолжения в теории однолистных функций, М., 1976. Е. Г. Голузина.