Леви Проблема

Проблема геометрич. характеризации областей данного аналитич. ространства, являющихся пространствами Штейна; была поставлена Э. Леви [1] для областей аффинного пространства в следующей форме. Пусть D — область в каждая граничная точка к-рой обладает следующим свойством: существуют окрестность Uточки в и голоморфная функция в не продолжаемая голоморфно в точку Является ли D голоморфности областью? Указанное свойство равносильно любому из следующих утверждений об области D:1) ни для какой не существует последовательности ограниченных голоморфных поверхностей Sv , сходящейся к голоморфной поверхности S, причем 2) область Dпсевдовыпукла, т. е. — где р — евклидово расстояние,- плюрисубгармоничная функция в D;3) D — псевдовыпуклое многообразие, т. е. в Dсуществует плюрисубгармонич. функция, стремящаяся к при приближении к дD. Л. п. для была положительно решена в 1953-54 независимо К. Ока (К. Oka), X. Бремерманом (Н. Bremermann) и Ф. Норге (F. Norguet), причем К. Ока решил проблему в более общей постановке, относящейся к наложения областям над (см. [2] — [6]). Результат К. Ока обобщается на области наложения над любым многообразием Штейна: если такая область Dявляется псевдовыпуклым многообразием, то D — многообразие Штейна. Л. п. положительно решена и в ряде других случаев, напр. для некомпактных областей наложения над проективным пространством или над кэлеровым многообразием, на к-ром существует строго плюрисубгармонич. функция (см. [2]), для областей в кэлеровом многообразии с положительной голоморфной бисекци-онной кривизной [7]. В то же время известны примеры псевдовыпуклых многообразий и областей, не являющихся многообразиями Штейна и даже не голоморфно выпуклых. Необходимым и достаточным условием штейновости комплексного пространства является его сильная псевдовыпуклость (см. Лсевдовыпуклость и псевдовогнутость). Далее, сильно псевдовыпуклая область любого комплексного пространства голоморфно выпукла и является собственной модификацией некоторого пространства Штейна (см. [2], [4]). Л. п. может быть поставлена также для областей Dв бесконечномерном топологич. комплексном векторном пространстве Е. Если Елокально выпукло к D — область голоморфности, то Dпсевдовыпукла, т. с. в D существует плюрисубгармонич. функция, стремящаяся к при приближении к дD. Обратная теорема неверна даже в банаховых пространствах, но доказана для банаховых пространств со счетным базисом и ряда других классов пространств Е(см. [2]). Лит.:[1] L е v i Е. Е., "Ann. mat. pura ed appl.", 1911, v. 18, p. 69-79; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. 125-51; 1977, т. 15, с. 93- 171; [3] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [4] Ганнинг Р., Р о с с и X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [5] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963; [6] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2 — Функции нескольких переменных, М., 1976; [7] Suzuki О., ""Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ.", 1976, v. 12, p. 439-45. А. Л. Онищик.