Леви — Крамера Теорема

Если сумма двух независимых непостоянных случайных величин нормально распределена, то и каждое из слагаемых нормально распределено; высказана П. Леви [1] и доказана Г. Крамером [2]. Эквивалентные формулировки: 1) если композиция двух собственных распределений является нормальным распределением, то и каждое из них является нормальным распределением; 2) если — характеристич. функции и В формулировке 1) Л.- К. т. допускает обобщение на композицию двух знакопеременных мер с ограничениями на отрицательную вариацию; в формулировке 2) — на случай, когда вместо условия (*) рассматривается условие где — характеристич. функции, — положительные числа, Е — множество действительных чисел с точкой сгущения в нуле. Имеются обобщения Л. — К. т. на случайные величины в евклидовых пространствах и в локально компактных абелевых группах. Л.-К. т. обладает свойством устойчивости, т. е. близость распределения суммы независимых случайных величин к нормальному влечет близость распределения каждого из слагаемых к нормальному; известны количественные оценки устойчивости. Теоремы, аналогичные Л. — К. т., получены для распределения Пуассона, для композиции распределения Пуассона и нормального, для других классов безгранично делимых распределений (см. [6]). Лит.:[1] Lev у P., "J. math, pures et appl.", 1935, t. 14, p. 347 — 402; [2] С r a m e rH., "Math. Z.", 1936, Bd 41, S. 405- 14; [3] Райков Д. А., "Докл. АН СССР", 1937, т. 14, с. 9-12; [4] Л и н н и к Ю. В., "Теория вероятн. и ее примен.", 1957, т. 2, с. 34-59; [5] С а п о г о в Н. А., "Вести. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ. и астр.", 1959, М" 19, с. 78-105; [6] Л и н н и к Ю. В., О с т р о в с к и й И. В., Разложения случайных величин и векторов, М., 1972; [7] Ф е л ь д м а н Г. М., "Теория вероятн. и ее примен.", 1977, т. 22, вып. 1, с. 136-43. И. В. Островский.