Лефшеца Теорема

1) Л. т. о неподвижных точках, Лефшеца — Хопфа теорема,- теорема, позволяющая выразить число неподвижных точек непрерывного отображения через его Лефшеца число. Так, если непрерывное отображение f: конечного клеточного пространства Xне имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца L(f) равно нулю. Частным случаем последнего утверждения является Брауэра теорема о неподвижной точке. Ю. Б. Рудяк. 2) Л. т. о г и п е р п л о с к о м сечении, слабая Л. т.: пусть X — алгебраич. подмногообразие комплексной размерности пв комплексном проективном пространстве и пусть — гиперплоскость, проходящая через все особые точки многообразия X(если они есть), а — гиперплоское сечение многообразия X;тогда относительные группы гомологии равны нулю при i<n. Отсюда вытекает, что естественный гомоморфизм является изоморфизмом для i<n-1 и сюръективен для i=n-1 (см. [1]). По формулам универсальных коэффициентов отсюда получаются соответствующие утверждения для групп целочисленных когомологии. Во всяком случае для когомологий с коэффициентами в поле рациональных чисел имеют место двойственные утверждения: гомоморфизм пространств когомологии индуцированный вложением является изоморфизмом для i<n-1 и инъективен для i=n-1 (см. [6]). Аналогичное утверждение справедливо для гомото-пич. групп: при i<n. В частности, кано-нич. гомоморфизм (X).является изоморфизмом при и сюръективен при n=2 (теорема Лефшеца о фундаментальной группе). Существует обобщение этой теоремы на случай произвольного алгебраически замкнутого поля (см. [7]), а также на случай, когда У — нормальное полное пересечение в X(см. [8]). 3) Сильная Л. т.- теорема о существовании разложения Лефшеца когомологий комплексного кэлерова многообразия на примитивные составляющие. Пусть V — компактное кэлерово многообразие размерности пс кэлеровой формой о) и пусть — класс когомологий типа (1, 1), соответствующий форме со при изоморфизме де Рама (если V — проективное алгебраич. многообразие над с естественной метрикой Ходжа, то -класс когомологий, двойственный классу гомологии гиперплоского сечения) и — линейный оператор, определяемый умножением на т. Пусть V — неособое проективное алгебраич. многообразие над полем Элемент наз. а л г е б р а и ч е с к и м, если двойственный ему (в смысле Пуанкаре) класс гомологии определяется нек-рым дивизором. Л. т. о когомологиях типа (1,1) утверждает, что класс алгебраичен тогда и только тогда, когда где — компонента Ходжа типа (1, 1) двумерных комплексных когомологий а отображение индуцировано естественным вложением (см. [1], а также [6], [12]). По поводу алгебраич. классов когомологий в размерностях, больших 2, см. Ходжа гипотеза. Для произвольного комплексного аналитич. многообразия Vсуществует аналогичная характеризация элементов группы являющихся классами Чжэня расслоений на комплексные прямые над V(см. [11]). Лит.:[1] Lefschetz S., L'analysis situs et la geometrie algebrique, P., 1924; [2] его же, "Trans. Amer. Math. Soc.", 1921, v. 22, p. 327-482; [3] его же, "Ann. Math.", 1937, v. 38, p. 819-22; [4] Berthelot P., Cohomologie cristalllne des schemas de caracteristique r>0,B.- [a. o.], 1974; [5] De1igne P., Katz N., Groupes de monodromie en geometric algebrique, В.- [a. o.], 1973; [6] Griffiths P., Harris J., Principles of algebraic geometry, N. Y., 1978; [7] G r о t h e n d i e с k A., Cohomologie locale des faisceaux coherents et theoremes de Lefschetz locaux et globaux, P.- Amst., 1968; [8] Наrtshorne R., Ample subvarieties of algebraic varieties, B.- [u. a.], 1970; [9] М а м ф о р д Д., Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971; [101 Милнор Д ш., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965; [11] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [12] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [13] Вейль А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961; [14] Д е л и н ь П., "Успехи матсм. наук", 1975, т. 30, в. 5, с. 159-90. В. А. Псковских.