Лефшеца Формула

Формула, выражающая число неподвижных точек эндоморфизма топологич. пространства через следы соответствующих эндоморфизмов в пространствах когомологий. Эта формула была установлена впервые С. Лефшецом для конечномерных ориентируемых топологич. многообразий [1] и для конечных клеточных комплексов (см. [2, 3]). Этим работам С. Лефшеца предшествовала работа Л. Брауэра (L. Brouwer, 1911) о неподвижной точке непрерывного отображения га-мерной сферы в себя. Некоторый новый вариант доказательства Л. ф. для конечных клеточных комплексов был дан X. Хоп-фом (H. Hopf, см. [9]). Пусть X — связное ориентируемое га-мерное компактное топологич. многообразие или га-мерный конечный клеточный комплекс, — непрерывное отображение, — Лефшеца число отображения f. Предполагается, что все неподвижные точки отображения изолированы. Для каждой неподвижной точки пусть i(х) — ее индекс Кронекера (локальная степень отображения f в окрестности точки х). Тогда Л. ф. для Xи fимеет вид Имеется [8] обобщение Л. ф. на случай произвольных непрерывных отображений компактных евклидовых окрестностных ретрактов. Пусть X — дифференцируемое компактное ориентированное многообразие, — дифференцируемое отображение. Неподвижная точка для отображения f наз. невырожденной, если она изолирована и — дифференциал отображения f в точке х,a E — тождественное преобразование. Для невырожденной точки ее индекс i(х).совпадает с числом sgn det (dfx-E). В этом случае Л. ф. (1) показывает, что число Лефшеца равно разности между числом неподвижных точек с индексом +1 и числом неподвижных точек с индексом -1, в частности не превосходит общего числа неподвижных точек. Левую часть формулы (1) в этом случае можно определить так же, как индекс пересечения на где Г f — график отображения fи — диагональ. Следствием Л. ф. является формула Хопфа, утверждающая, что эйлерова характеристика равна сумме индексов нулей глобального -векторного поля vна X(предполагается, что все нули векторного поля vизолированы) (см. [5]). Существует вариант Л. ф. для компактных комплексных многообразий и когомологии Дольбо (см. [5]). Пусть X — компактное комплексное многообразие размерности ти — голоморфное отображение с невырожденными неподвижными точками. Пусть — когомологии Дольбо многообразия X типа ( р, q).и (X).- индуцированный отображением f эндоморфизм. Число наз. голоморфным числом Лефшеца. Тогда имеет место следующая голоморфная Л. ф. где dfx — голоморфный дифференциал, отображения f в точке х. В абстрактной алгебраич. геометрии Л. ф. послужила отправной точкой для поиска Вейля когомологии в связи с гипотезами Вейля о дзета-функциях алгебраич. многообразий, определенных над конечными полями. Аналог Л. ф. в абстрактной алгебраич. геометрии устанавливается для l-адических когомологии с компактными носителями и с коэффициентами в конструктивных -пучках, где — поле l-адических чисел, l- простое число, отличное от характеристики поля k. Эту формулу часто называют формулой следа. Пусть X — алгебраич. многообразие (или схема) над конечным полем k, — морфизм Фробениуса и — пучок на Xи — когомологии с компактными носителями многообразия (схемы) Xскоэффициентами в пучке Тогда морфизм Fопределяет эндоморфизм когомологии Если — расширение степени пполя k, — многообразие (схема) и пучок, полученные из Xи посредством расширения поля скаляров, то соответствующий морфизм Фробениуса совпадает с n-й степенью Fn морфизма F. Пусть теперь X — отделимая схема конечного типа над конечным полем kиз qэлементов, — конструктивный -пучок на X, l — простое число, отличное от характеристики поля k, — множество неподвижных геометрич. точек морфизма Fn или, что то же самое, множество X(kn).геометрич. точек схемы Xсо значениями в поле kn. Тогда для любого целого имеет место следующая Л. ф. (или формула следа) (см. [6], [7]): где -слой пучка в точке х. В случае постоянного пучка имеем и левая часть формулы (2) представляет собой не что иное, как число геометрич. точек схемы Xсо значениями в поле kn. В частности, при n=1 — это просто число точек схемы Xсо значениями в основном поле k. Если схема Xявляется собственной над k(напр., если X — полное алгебраич. многообразие над k), то и правая часть формулы (2) является альтернированной суммой следов эндоморфизма Фробениуса в обычных когомо-логиях схемы X. Имеются (см. [7]) обобщения формулы (2). Лит,:[1] L e t s с h e t rS., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1926, v. 28, № 1, p. 1-49; [2] e г о же, "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1927, v. 13, p. 614-22; [3] его же, "Ann. Math." (2), 1937, v. 38, № 4, p. 819-22; [4] Kleiman S. L., в кн.: Dix exposes sur la cohomologie des schemes, Amst.- P., 1968, p. 359- 386; [5] G r i f f i t h s P., H а r r i s J., Principles of algebraic geometry, N. Y., 1978; [6] Cohomologie etale. SGA 41/2, B.- Hdlb.- N. Y., 1977; [7] Cohomologie l-adique et fonctions L,SGA 5, В.- Hdlb.- N. Y., 1977; [8] Д о л ь д А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [9] 3ейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер. с нем., М.- Л., 1938. В. А. Псковских.