Лебега Интеграл

Одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть — пространство с неотрицательной полной счетноаддитивной мерой причем Простой ф у. н к ц и е й наз. измеримая функция принимающая не более счетного множества значений: Простая функция gназ. суммируемой, если ряд сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега: Функция суммируема на если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к f последовательность простых суммируемых функций gn и предел конечен. Число I есть интеграл Лебега: Определение корректно: предел I существует и не зависит от выбора последовательности gn. Если то I — измеримая почти всюду конечная функция на X. Л. и. есть линейный неотрицательный функционал на обладающий следующими свойствами: В случае, когда интеграл Лебега определяется как при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности Е п такой, что В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается. О переходе к пределу под знаком Л. и. см. Лебега теорема. Если Аесть измеримое множество X, то Л. и. определяется или, как указано выше, заменой Xна А , или как где — характеристич. функция А;эти определения эквивалентны. Если для любого измеримого Если измеримо для каждого п, для Обратно, если при тех же условиях на А n для каждого и то и верно предыдущее равенство ( -аддитивность Л. и.). Функция множества абсолютно непрерывна относительно если то F(А).есть неотрицательная абсолютно непрерывная относительно мера. Обратное утверждение представляет Радона — Никодима теорему. Для функций название "интеграл Лебега" применяется к соответствующему функционалу, если мера есть Лебега мера;при этом множество суммируемых функций обозначается просто L(Х).и интеграл Для других мер этот функционал наз. Лебега-Стилтьеса интегралом. Если — неубывающая абсолютно непрерывная функция, то Если -мо- нотонна на и существует точка такая, что (вторая теорема о среднем). А. Лебег дал в 1902 (см. [1]) определение интеграла для и меры являющейся мерой Лебега. Он строил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной меры Еизмеримую неотрицательную функцию и доказал существование общего предела (конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к f. Л. и. является базой для различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин [2], свойство 2) — т. н. абсолютная интегрируемость, выделяет Л. к. для из всевозможных обобщенных интегралов. Лит.:[1] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.- Л., 1934; [2] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981. И. А. Виноградова.