Квазиклассическое Приближение

Асимптотическое представление, асимптотика решений уравнений квантовой механики при (h- постоянная Планка). Уравнение Шрёдингера описывает движение квантовомеханич. частицы в потенциальном поле V(x). Движение классич. частицы описывается уравнением Гамильтона — Якоби или системой Гамильтона Задаче Коши для уравнения Шрёдингера сопоставляется задача Коши для системы (3) (здесь функции j, S0, V- гладкие, S0, V- действительные, j — финитна). Асимптотика решения y(t, x )при и при малых T>0 имеет вид: здесь S(t, x)- решение уравнения (2) с данными Коши S|t=0=S0(x)(классическое действие), а где x=x(t, у), p=p(t, у) — решение задачи (3), (5). Функции jj при определяются из рекуррентной системы уравнений переноса (это обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль траекторий системы (3)), так что все члены асимптотики выражаются в терминах классич. механики. Принцип соответствия Бора утверждает: "Если hстремится к нулю, то квантовые законы должны переходить в законы классические". Метод отыскания асимптотики в виде (6) был предложен П. Дебаем (P. Debye) и широко применяется в квантовой механике. Асимптотика решения задачи (1), (4) в большом (т. е. за любое конечное время) строится с помощью канонич. оператора В. П. Маслова [3]. Данные Коши (5) заполняют n-мерное лагранжево многообразие А" в фазовом пространстве Его сдвиги вдоль траекторий системы (3) — также лагранжевы многообразия; их объединение есть (n+1)-мерное лагранжево многообразие в фазовом пространстве R2n+2 с координатами (t, x, р 0, р). Для канонич. оператора отвечающего справедлива формула коммутации где — производная в силу системы (3), L- оператор Шрёдингера. Асимптотика решения y в большом дается формулой где функции cj определяются из данных Коши (4) с помощью уравнений переноса и выражаются в терминах классич. механики. В нефокальной точке (t0, x0 )асимптотика имеет вид где сумма берется по всем лучам, приходящим в эту точку, Sj и Jj- действие и якобиан для j-го луча, lj- индекс Морса j-го луча. Для стационарного уравнения Шрёдингера в К. п. исследованы задача о рассеянии, задача о поле точечного источника, получены квазиклассич. серии (типа бальмеровских) собственных значений. в широком смысле слова (синонимы: высокочастотная асимптотика, коротковолновое приближение, приближение геометрия, оптики, метод ВКБ, метод эйконала) — асимптотика решений дифференциальных уравнений с частными производными с действительными характеристиками вида а также систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. Здесь — большой параметр, символ L(x, p;e) слабо зависит от e. Уравнению (9) отвечают уравнения классич. механики — уравнение Гамильтона — Якоби и система Гамильтона где L0=L(x, р;0). К. п. строится с помощью канонич. оператора, отвечающего инвариантным относительно динамич. системы (10) лагранжевым многообразиям, и имеет вид, аналогичный (8). К. п. широко применяется в современной физике, в задачах о распространении звуковых, упругих, электромагнитных волн, в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике и других вопросах. Лит.:[1] Бриллюэн Л., Атом Бора, пер. с франц., Л.- М., 1935; [2] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М., Квантовая механика, 2 изд., М., 1963 (Теоретическая физика, т. 3); [3] Маслов В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, М., 1965; [4] Маслов В. П., Федорюк М. В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М., 1976; [5] Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, М., 1970; [6] Бабич В. М., Булдырев В. С, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972; [7] Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973. М. В. Федорюк.