Квазигруппа

Множество с одной бинарной операцией (наз. обычно умножением), в к-ром каждое из уравнений ах=Ь и уа=Ь имеет единственное решение для любых элементов а, b этого множества. К. с единицей наз. лупой. К.- естественное обобщение понятия группы. К. возникают в различных областях математики, напр, в теории проективных плоскостей, неассоциативных тел, в ряде вопросов комбинаторного анализа и т. п. Термин "К." введен Р. Муфанг (R. Moufang); с ее работ по недезарговым плоскостям (1935), в к-рых выяснялась связь таких плоскостей с К., собственно и началось развитие теории К. Основные понятия. Отображения Ra: х ха и La: x ах наз. правой и левой трансляциями (или сдвигами) относительно элемента а. В К. трансляции являются подстановками множества ее элементов. Подгруппа Gгруппы подстановок множества Q, порожденная всеми трансляциями К. Q(Х), наз. группой, ассоциированной с квазигруппой Существует тесная связь между строением группы Gи К. Гомоморфный образ К., вообще говоря, не К., а группоид с делением. Гомоморфизмам К. на К. соответствуют так наз. нормальные конгруэнции (конгруэнция q на нормальна, если каждое из соотношений асqbс и caqcb влечет аqb). В группах все конгруэнции нормальны. Подквазигруппа Иназ. нормальной, если существует такая нормальная конгруэнция q, что Нсовпадает с одним из классов конгруэнции. Существуют К., в к-рых два или даже все классы по конгруэнции q — подквазигруппы. С каждой квазигрупповой операцией на множестве связаны еще две операции, наз. левой и правой обратной операциями, обозначаемые и соответственно. Они определяются следующим образом: z/y=x и если x-y=z. Рассматривая всевозможные перестановки трех элементов х, у,z, можно получить пять обратных операций, не считая исходной. Переход от основной операции к одной из них наз. парастрофией. К., в к-рых все обратные операции совпадают с основной, наз. тотально-симметрическим и, или TS-к вазигруппами. TS-квазигруппы можно определить также как К., удовлетворяющие тождествам: ху=ух и х( ху) = у. Идемпотентные TS-квазигруппы (т. е. с дополнительным тождеством х 2=х )наз. квазигруппами Штейнера. Они тесно связаны с системами троек Штейнера (см. Штейнера система). Одним из самых важных понятий в теории К. является понятие изотопии. Изотопия может быть определена и для К., заданных на разных (но равномощных) множествах. Число неизотопных К., к-рые могут быть заданы на конечном множестве мощности п, известно (1978) только для Основные классы квазигрупп. Самые первые работы по К. относятся к таким обобщениям групп, в к-рых требование ассоциативности заменяется более слабыми условиями, теперь называемыми постулатами "А" и "Б" Сушкевича. К. удовлетворяет постулату Сушкевича "А", если решение хуравнения ( аb) с=а(bх )зависит только от bи с, и постулату "Б", если это решение зависит только от с. Доказано, что К. этих классов изотопны группам. В случае, когда решение такого уравнения зависит от а и с, К. наз. левой F-к вази-группой. Аналогично, при помощи уравнения ( аЪ) с=х( Ъс )определяется правая F-к вазигруппа. К., являющаяся левой и правой F-квазигруппой одновременно, наз. F-к вазигруппой. Существуют F-квазигруппы, не изотопные группам. Идемпотентная F-квазигруппа наз. дистрибутивной квазигруппой и может быть определена тождествами:(yz)x-(yx)(zx), x(yz) =(xy)(xz), наз. тождествами дистрибутивности. Доказано, что дистрибутивные К. изотопны лупам Муфанг (см. Лупа). К.медиальна, если выполняется тождество Всякая медиальная К. изотопна абелевой группе Q(+) и изотопия имеет вид где j, y — коммутирующие автоморфизмы группы, а с- некоторый элемент Q(теорема Тоёды). Системы квазигрупп и функциональные уравнения. Пусть на множестве Qзадана нек-рая система К. В этом случае операции удобнее обозначать буквами: вместо ab=c писать, напр., ( а,b) = с. Квазигрупповые операции на Qпредполагаются связанными между собой нек-рым образом, чаще всего какими-либо тождествами, называемыми в этом случае "функциональными уравнениями". Обычно решается задача нахождения системы К. на Qпо заданным функциональным уравнениям. Напр., решено уравнение общей ассоциативности: а именно, доказано, что если четыре К. удовлетворяют (1), то они изотопны одной группе Q(-), а общее решение дается равенствами: где a, b, j, y, q — любые подстановки множества Q. Очень похоже решается уравнение общей медиальности: Все шесть К. здесь оказываются изотопными одной абелевой группе.n-арные квазигруппы. Множество с одной n-арной операцией наз. n-квазигруппой, если каждое из уравнений (где b, а 1, а2, . . . , а пQ, i=1, 2, ... , п)имеет единственное решение. На n-квазигруппы переносятся основные понятия теории К. (изотопия, парастрофия и т. д.). Каждая re-квазигруппа изотопна нек-рой re-лупе (см. Лупа). Некоторые классы обычных бинарных К. (такие как классы медиальных, TS-квазигрупп и др.) имеют аналог в re-арном случае. Операция Аарности n приводима, если существуют две такие операции Ви Сарности не меньше двух, что (сокращенная запись ). В противном случае А наз. неприводимой. Для n-арных К. верна теорема, аналогичная теореме о канонич. разложении натурального числа на простые множители. Комбинаторные вопросы. Таблица умножения конечной К., т. е. ее Кэли таблица, в комбинаторике известна под названием латинский квадрат. Одна из задач комбинаторной теории К.- отыскание систем взаимно ортогональных К. на заданном множестве — важна для построения конечных проективных плоскостей. Две К. Аи В, заданные на множестве Q, ортогональны, если система уравнений ( х, у) = а, В( х, у)=b имеет единственное решение для любых аи b из Q. Ортогональность конечных К. эквивалентна ортогональности их латинских квадратов. Доказано, что система взаимно ортогональных К., определенных на множестве из пэлементов, не может содержать более чем п-1 К. Другим комбинаторным понятием, связанным с К., является понятие полной подстановки. Подстановка j К. Q(Х) наз. полной, если отображение также подстановка множества Q. Не всякая К. обладает полной подстановкой. К., обладающая полной подстановкой, наз. допустимой. Для допустимой группы существует ортогональная к ней К., и обратно: если для группы существует ортогональная к ней К., то группа допустима. Если конечная К. порядка пдопустима, то из нее специальным процессом (продолжением) можно получить К. порядка n+1. Алгебраические сети. К. имеют естественную геометрич. интерпретацию с помощью алгебраич. сетей, называемых также алгебраич. тканями (см. Тканей геометрия). Алгебраической сетью наз. множество, состоящее из элементов двух видов — линий и точек — с некоторым отношением инцидентности между ними. (Вместо слова "инцидентна" употребляются также выражения "проходит через", "лежит на".) Пусть множество линий Nразбито на три класса так, что выполняются аксиомы: 1) две линии из различных классов инцидентны ровно одной общей точке из N;2) каждая точка инцидентна ровно одной линии каждого класса. Тогда Nназ. 3-сетью. Аналогично, разбиением на kклассов могут быть определены k-сети. Число (мощность множества) линий в каждом классе одинаково и равно числу (мощности множества) точек любой линии сети. Оно наз. порядком сети. Сети могут быть координатизированы с помощью К. следующим образом. Пусть дана 3-сеть VV с множеством линий L1, L2, L3 и Q- множество, мощность к-рого равна порядку сети N. И пусть фиксированы нек-рые взаимно однозначные соответствия между Q и каждым из Li, т. е. каждой линии класса Li дана нек-рая координата в Q. Множество Qстановится К. (координатная квазигруппа сети), если на нем определить следующую операцию: xy=z, тогда и только тогда, когда общая точка линии с координатой хиз L1. и линии с координатой уиз L2 лежит на линии с координатой z из L3. Обратно, каждая К. является координатной К. некоторой 3-сети. При различных взаимно однозначных соответствиях между Qи Li получаются различные, но изотопные К. на множестве Q. Каждой 3-сети, в к-рой зафиксирован порядок классов L1, L2, L3, соответствует класс всех изотопных между собой К. Перенумерации классов сети соответствует парастрофия координатных К. Каждому свойству 3-сети соответствует инвариантное при изотопии (т. е. универсальное) свойство К. Такими свойствами являются, напр., замыкания условия, наиболее известны из к-рых условия замыкания Томсена, Рейдемейстера, Бола, шестиугольника. Условие Томсена для координатной К. означает, что из соотношений х 1 у 2=х 2 у 1 и х 1 у 3=х 3 у 1 для ее элементов х 1,х 2, х 3, у 1, у 2, у 3 следует соотношение х 2 у 3=х 3 у 2. В К. выполняется условие Томсена тогда и только тогда, когда она изотопна абелевой группе. Аналогичные характеристики К. получены и для других условий замыкания.k-сети координатизируются с помощью k-2 взаимно ортогональных К. Лит.:[1] Белоусов В. Д., Основы теории квазигрупп и луп, М., 1967; [2] Итоги науки, Алгебра. Топология. Геометрия, 1965, М., 1967, с. 63-81; [3] Bruck R. H., A Survey of Binary Systems, 3 ed., В., 1971; [4] его же, "Studies in math.", 1963, v. 2, p. 59-99; [5] Aczel J.,"Adv. Math.", 1965, v. 1, № 3, p. 383-450. В. Д. Белоусов.