Квантор

Ква́нтор

(от лат. quantum — сколько)

логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все», «каждый», «некоторый», «существует», «имеется», «любой», «всякий», «единственный», «несколько», «бесконечно много», «конечное число», а также все количественные числительные. В формализованных языках (См. Формализованный язык), составной частью которых является Исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным К. двух видов: К. (все) общности (оборот «для всех х», обозначается через ∀x, (∀x), (x) (Ax), ) и К. существования («для некоторых х», обозначения: ∃x, (∃x), (Ех),

С помощью К. можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: «все А суть В» записывается в виде ∀x [A (x)⊃ ⊃B (x)], «ни одно A не есть B» — в виде ∀x [A (x)⊃¬B (x)], «некоторые А суть B» — в виде ∃x [A (x)&B (x)], «некоторые А не суть В» — в виде ∃x [A (x)& ¬B (x)] (здесь А (х) означает, что х обладает свойством A, ⊃ — знак импликации (См. Импликация), — отрицания (См. Отрицание), & — конъюнкции (См. Конъюнкция)).

Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо К., называется областью действия этого К. (её можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной (См. Переменная) в формулу непосредственно после знака К. или в область действия К., после которого стоит эта переменная, называется её связанным вхождением. Все остальные вхождения переменных называются свободными. Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией (См. Функции)); связанные же вхождения переменных можно «переименовывать»; например, записи ∃x (x = 2y) и ∃z (z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о ∃x (x = 2y) и ∃x (x = 2t). Применение К. уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если К. не «фиктивный», т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трёхместный предикат в двухместный, двухместный — в одноместный, одноместный — в высказывание. Употребление К. кодифицируется специальными «постулатами квантификации» (присоединение которых к исчислению высказываний (См. Исчисление высказываний) по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими «постулатами Бернайса»: аксиомами A (t) ⊃ ∃xA (x) и ∀xA (x) ⊃ A (t) и правилами вывода (См. Правило вывода) «если доказано С ⊃А (х) ⊃ С, то можно считать доказанным и С ⊃ ∀хA (х)» и «если доказано А (х) ⊃С, то можно считать доказанным и ∃ хA (x) ⊃ C» (здесь х не входит свободно в С).

К К. общности и существования сводятся и др. виды К., например вместо так называемого К. единственности ∃! x («существует единственный х такой, что») можно писать «обычные» К., заменяя ∃! xA (x) на

∃ xA (x) &∀y∀z [A (y)&A (z) ⊃ y = z].

Аналогично, К., «ограниченный» каким-либо одноместным предикатом P (x)(∃xP (x), читается как «существует x, удовлетворяющий свойству Р и такой, что», а ∀xp (x)— «для всех х, удовлетворяющих свойству Р, верно, что»), легко выразить через К. общности и существования и операторы импликации и конъюнкции:

∃xp (x) A (x) ≡ ∃x [P (x)&A (x)] и

∀xp (x) A (x) ≡ ∀x [P (x)⊃A (x)].

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

Ю.А. Гастев.