Квадратичные Формы Поверхности

Общее наименование квадратичных форм от дифференциалов координат на поверхности, инвариантных при преобразованиях этих координат. К. ф. п. характеризуют основные внутренние свойства поверхности и ее расположение в пространстве в окрестности данной точки; обычно выделяют так наз. первую, вторую и третью основные квадратичные формы. Первая квадратичная форма поверхности характеризует внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Это означает, что с ее помощью можно производить измерения на поверхности. Пусть поверхность задана уравнением: где ии v- координаты на поверхности;- дифференциал радиус-вектора r( и, v )вдоль выбранного направления смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см. рис. 1). Главная линейная часть приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr: и наз. первой основной К. ф. п. См. также Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности характеризует локальную структуру поверхности в окрестности обыкновенной точки. Именно, пусть- единичный вектор нормали к поверхности в точке М, где e=+ 1, если тройка векторов — правой ориентации, и e=-1 — в противоположном случае. Удвоенная главная линейная часть 2d отклонения точки М' (см. рис. 2) поверхности от касательной плоскости в ее точке МравнаII = 2d = (- dr, dn)= L( и, v)du2+2М(u,v)dudv + N(u, v) dv2, где L=(ruu, n), M=(ruv, n), N=(rvv, n). Форма II наз. второй основной К. ф. п. См. также Вторая квадратичная форма поверхности. Первая и вторая К. ф. п. обладают двумя важными совместными скалярными инвариантами относительно преобразования координат на поверхности. Именно, отношение дискриминантов этих форм равно гауссовой кривизне поверхности в точке: а выражение определяет среднюю кривизну поверхности в точке. Задание первой (положительно определенной) и второй К. ф. п. определяет поверхность с точностью до движения (Бонне теорема). Третья квадратичная форма поверхности представляет собой квадрат дифференциала единичного вектора пнормали к поверхности в точке М(см. рис. 3 :III = dn2 = nu2du2 +2nunvdudv+nv2dv2. Третья К. ф. п. равна главной линейной части приращения угла между векторами пи n' при смещении поповерхности из точки Мв точку М'; она является первой К. ф. п. сферического изображения поверхности. Три основные К. ф. п. связаны линейной зависимостью: Кроме перечисленных выше иногда рассматривают и другие К. ф. п. (см., напр., [3]). Лит.:[1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М.- Л., 1947; [2] Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; [3] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963. А. Б. Иванов.