Квадратичная Форма

Над коммутативным люльцом с единицей — однородный многочлен от n=n(q)переменных с коэффициентами Обычно R- это поле С, R или Q, либо кольцо Z, кольцо целых элементов алгебраич. числового поля, а также их пополнения по неархимедовым нормам. Симметрическая квадратная матрица A = A(q)=(aij )порядка п, где а ii=2qii, aij=aji=qij, наз. кронекеровой матрицей К. ф. д{х);. обозначение Зигеля: Eсли дискриминантD(q). К. ф. qне равен 0, то qназ. не вырожденной, а если равен 0, то — вырожденной. К. ф. q(x)наз. гауссовой, если она допускает симметрическую запись: т. е. найдутся для к-рых qij=2bij,< <Симметрическая квадратная матрица B=B(q)=(bij) наз. матрицей (или гауссовой матрицей) К. ф. q(x). Величина :d=d(g) = det В наз. определителем К. ф. q(x);при этомD(q) = (-1)n/22n d(q), если п(q) четно, D(q) =(- 1)( п-1)/2 2n-1d(q), если (q)нечетно. Если R- поле характеристики, отличной от 2, то всякая К. ф. над Л гауссова. Если Л вкладывается в поле Fхарактеристики, отличной от 2, то К. ф. q(x)над R можно рассматривать как гауссову, но с матрицей B=B(q)над Fи К. ф. qr и q2 эквивалентны над R(q1-q2), если одна из них преобразуется в другую обратимой в Rлинейной однородной подстановкой переменных, т. е. если найдется такая обратимая квадратная матрица Uнад Л, что A(q1)=UTA(q2)U. Совокупность К. ф. над Л, эквивалентных над Л данной, называется классом К. ф. Дискриминант К. ф., с точностью до квадрата обратимого в Л элемента,- инвариант класса. Другая точка зрения на К. ф. состоит в следующем. Пусть V- унитарный Л-модуль; отображение q: наз. квадратичным отображением (или квадратичной формой на модуле V, если 1) q(ax) = a2q(x), 2) отображение bq: задаваемое равенствомbq(x, y) = q(x+y) — q(x) — q(y), является билинейной формой на модуле V. Пара (V, q )наз. квадратичным модулем. Форма bq всегда является симметрической. Всякой билинейной форме b( х, у )на Vотвечает К. ф. q(x) = qb(x)=b(x,x);при этом Если в кольце Л элемент 2 имеет обратный 1/2, то есть взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметричными билинейными формами на модуле V. Если V- свободный Л-модуль ранга пи q — К. ф. на V, то каждому базису е 1, . . ., е п модуля Vотвечает К. ф. в классическом понимании где qii=q(ei), qij=bq(ei, ej),. Каждая К. ф. q(x1, ..., х п )над Л получается таким способом из нек-рого квадратичного модуля (Rn, q). При замене базиса К. ф. q(x1,... , х п )переходит в эквивалентную К. ф., и обратно. Говорят, что элемент представим К. ф. q(или что форма qпредставляет у), если уявляется значением этой формы при нек-рых значениях переменных. Эквивалентные К. ф. представляют одни и те же элементы. К. ф. q(x)над упорядоченным полем наз. неопределенной, если она представляет как положительные, так и отрицательные элементы, и наз. положительно (отрицательно) определенной, если q(x)>0 (соответственно q(x)<0) при всех х неравных 0. Невырожденная К. ф., представляющая 0 нетривиально, наз. изотропной, в противном случае — анизотропной. Аналогично, К. ф. r(y1, ... , у т). наз. представим ой К. ф. q, если qпревращается в rпри подстановке нек-рых линейных форм от у 1, ..., у т вместо переменных в q, т. е. если существует прямоугольная матрица Sпорядка тХп над Л такая, что A(r) = ST A(q)S (T- знак транспонирования). Алгебраическая теория К. ф.- теория К. ф. над полями. Пусть F- произвольное поле характеристики, отличной от 2. Задача о представлении формы r формой qнад Fсводится к проблеме эквивалентности форм над F, ибо (теорема Полла) для того, чтобы невырожденная К. ф. г была представима невырожденной К. ф. qнад Л, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая форма h = h(xm+1,... , х п), что К. ф. r+h и qэквивалентны над F. Здесь r+h — ортогональная прямая сумма форм, т. е. rи hне имеют общих переменных. Теорема Витта о сокращении: если h++q2, то Всякая К. ф. над Fэквивалентна диагональной:a1x12+a2x22+...+arxr2+...+anxn2. Можно считать, что а 1; ... , а r0, а а r+1=. . . = an=0. Число rназывается рангом К. ф. q n совпадает с рангом матрицы A(q). Если в Fсуществует квадратный корень из любого элемента, то К. ф. над Fэквивалентна форме x12+ ...+xr2 (нормальный вид К. ф.). Всякая невырожденная К. ф. qэквивалентна форме где q0 анизотропна; при этом qоднозначно определяет kи класс формы q0 над F, называемый анизотропным ядром формы q(см. также Bumma разложение). Две формы q1 и q2, имеющие одно и то же анизотропное ядро, наз. подобными по Витту. На классах подобия форм определена структура кольца (см. Bumma кольцо). Пусть F- упорядоченное поле (в частности, поле R)и всякий положительный элемент в Fявляется квадратом. Тогда всякая К. ф. qприводима к форме вида При этом числа sи r- s(положительный и отрицательный индексы инерции) определены формой однозначно (см. Инерции закон). Тем самым для этих полей разрешается проблема эквивалентности К. ф. Над полем Q проблема эквивалентности сводится к аналогичной проблеме для полей р-адических чисел: для того чтобы К. ф. q1 и q2 были эквивалентны над Q, необходимо и достаточно, чтобы q1 и q2 были эквивалентны над Qp для всех простых чисел ри над Q00 = R. (теорема Минковского — Хассе). Аналогичное утверждение справедливо и для A-полей — алгебраических числовых полей и полей алгебраич. функций от одной переменной над конечным полем констант. Это — частные случаи общего Хассе принципа. В поле проблема эквивалентности решается с помощью Хассе инварианта. К. ф. qнад полем Fназ. мультипликативной над F, если где z,- суть рациональные функции от х 1, . .. , х п, у 1,... , у п над F. Если при этом zi — билинейныз функции, то говорят, что форма обладает композицией. Композиция возможна лишь в случаях п=2, 4, 8 (теорема Гурвица). Существует простое описание мультипликативных форм [16]. Изложенная алгебраич. теория К. ф. обобщена [7] на случай поля характеристики 2. Арифметическая теория К. ф.- теория К. ф. над кольцами. Она возникла в связи с задачей о решении диофантовых уравнений 2-й степени. Вопрос о решении таких уравнении сводится к задаче о представлении целых чисел целочисленной К. ф. q, т. е. к задаче решения в уравнения b=q(x1,... , х п). Известны алгоритмы, сводящие нахождение (описание) всех решений этого уравнения к проблеме эквивалентности К. ф. над Z, т. е. к задаче отыскания по заданным К. ф.и обратимых матриц Uнад Z, удовлетворяющих условию UTAU=A1. Для n=2 эти алгоритмы были построены Ж. Лагранжем (J. Lagrange) и К. Гауссом (С. Gauss), к-рые создали общую теорию бинарных К. ф. На произвольное пони обобщены Г. Смитом (Н. Smith) и Г. Минковским (Н. Minkowski). Одной из центральных проблем арифметич. теории является задача отыскания простых критериев существования представлений Sформы В[х]формой т. е. решений матричного уравнения а также задача построения формул для числа R(q, r)= R(A, В )таких представлений. При этом, если число представлений бесконечно, то речь идет о числе В'(q, r)"существенно различных" представлений (представления Sи S' отождествляются, если S'=VS, где V — целочисленный автоморфизм формы q{x), т. е. VTAV=A). Необходимым условием существования представлений является разрешимость уравнения (1) над R и разрешимость над Z матричного сравнения по любому g. (Для разрешимости всех сравнений (2) достаточна разрешимость (2) при g=go=8D(q)D (r). )Эти необходимые условия, наз. "родовыми", равносильны разрешимости (1) над Z р для любого простого числа ри над Они равносильны также разрешимости (1) над полем рациональных чисел Q "без существенного знаменателя", т. е. существованию рационального решения Sс общим знаменателем, взаимно простым с любым наперед заданным числом g(достаточно ограничиться числом g=g0). Условия разрешимости сравнений (2) можно выразить через родовые инварианты форм q и r. Число решений сравнения (2) находится с помощью сумм Гаусса. Род К. ф. над — множество K. ф. над эквивалентных друг другу над для всех простых р, включая Zoo =R. Род К. ф. состоит из конечного числа классов одного и того же дискриминанта. Род К. ф. q(x)=может быть задан конечным набором родовых инвариантов — инвариантов порядка, выражаемых через элементарные делители матрицы А, и характеров рода Род может быть задан также значениями сумм Гаусса. Существенную роль в теории К. ф. играет также понятие спинорного рода, более тонкое, чем понятие рода. Число R'(q, r )существенно различных представлений формы г формой qпросто связано с числом R'0(q, r )существенно различных примитивных представлений, т. е.. таких представлений S, что наибольший общий делитель миноров порядка тматрицы равен 1. Для величины (усреднения функции R'0(q, r )по роду формы q), где q1, . . . , ql — представители всех классов рода формы q(из каждого класса по одному), имеются (см. [11], [15]) формулы, выражающие S0(q, r )через число решений нек-рых сравнений. В случае, когда род формы qсостоит из одного класса, эти формулы полностью решают вопрос о числе представлений. В случае многоклассных родов известны лишь асимптотич. формулы для R(q, r), а также точные формулы для нек-рых конкретных К. ф. продолжение ... Аналитическая теория К. ф. Аналитич. методы в теорию К. ф. были введены П. Дирихле (P.Dirichlet). Развивая эти методы, К. Зигель (К. Siegel) пришел к общим формулам для числа представлений формы родом форм. Пусть q(x1,..., х п)=. и r(x1, ... , х т) =- положительно определенные К. ф. над Z. Число наз. зигелевым средним по роду для числа представлений R(q,r) формы rформой q. Здесь E(qi)- число автоморфизмов формы q;,- вес рода К. ф. q. Пусть где О — окрестность точки r=r (х)в m(m+1)/2-мерном пространстве m-арных К. ф. над R, J' — соответствующая область решений S1 матричного уравнения (1) над R, a V(J)и F(J') — их объемы. Формула Зигеля для К. ф. qи r имеет вид где х=1/2, если n=m>1 или n=m+i и t=1 в остальных случаях. Здесь где предел берется по таким последовательностям g, что любое натуральное число является делителем почти всех g,a w0(g)- число различных простых делителей g,wn-m(g) = 0, если п>т,a Rg(q, r)- число представлений формы r формой qпо модулю g, т. е. число решений матричного сравнения Справедливо равенство Имеется ряд равносильных определений для H(q, r )и (см. [17]) выражение через обобщенные суммы Гаусса. Формула (3) содержит, как частный случай, формулу Минковского для веса рода: последняя в случае п=2 дает формулу Дирихле для числа классов. Формулы, аналогичные (3), имеют место и для неопределенных К. ф. и форм с целыми алгебраич. коэффициентами (см. [17], [18]). Приложение теории модулярных форм к исследованию мультипликативных свойств количества представлений чисел положительными К. ф. с четным числом переменных было дано Э. Хекке (Е. Несkе, [10]). Теория модулярных форм позволяет получать формулы для R(q, b )(см. обзор [5]). К вопросу о представлении чисел К. ф. от четырех и более переменных применяется круговой метод (см. [4]). Если q- положительно определенная К. ф. над Z, то применение кругового метода приводит для к асимптотич. формуле Подобные асимптотич. формулы могут быть получены круговым методом и для неопределенных К. ф. при n 4. Для исследования R (q, b )в случае n=3 применяется дискретный эргодический метод Линника (см. [3], [4]). Он заключается в том, что на нек-ром множестве представлений чисел тернарными К. ф. устраивается эргодический поток представлений, управляемый оператором, связанным с задачей представления чисел кватернарными К. ф. Эргодический. метод приводит (при выполнении необходимых условий) к оценке типаR(q, b)> ch(-Db), с = c (q)> 0; в ряде случаев получены и асимптотич. формулы. Для исследования таких вопросов теории К. ф.,как теория приведения, автоморфизмы, арифметич. минимумы К. ф., Ш. Эрмитом (Ch. Hermite) был развит метод непрерывных параметров, превратившийся затем в обширный раздел теории К. ф.- геометрическую теорию К. ф., или геометрию К. ф. (к-рую можно рассматривать и как часть Геометрии чисел). Идея метода состоит в следующем. Заданной n-мерной точечной решетке ставится в соответствие та или иная арифметич. величина и рассматривается поведение функции при малых изменениях параметров решетки Л. Характерной чертой геометрии К. ф. является систематич. использование n(n+1)/2-мерного пространства коэффициентов (параметров), в к-ром решетка Л изображается точкой. Пусть — К. ф. с действительными коэффициентами а ij= а ji (i, j=1, . .. , n). Форме f ставится в соответствие точка f=(а 11, . . . , а пп, а 12, . . . , а -1,n) в N-мерном евклидовом пространстве, N=n(n+1)/2, называемом пространством коэффициентов. Положительно определенным формам f при этом отвечает открытый выпуклый конус B с вершиной в начале координат, называемый конусом положительности. Решетке Л соотносится класс эквивалентных n-арных положительно определенных К. ф.; при базисе [ ..., ] решетки L ей ставится в соответствие форма Тем самым решетке Л соответствует бесконечное дискретное множество точек конуса положительности Если выбрать точную область приведения положительно определенных К. ф., то каждой решетке будет взаимно однозначно соответствовать точка пространства коэффициентов. Малым изменениям параметров решетки Л отвечают малые изменения точки Геометрическая теория К. ф. распадается на ряд достаточно самостоятельных теорий, связанных единым методом исследования. Фундаментом ее является теория приведения положительных К. ф., к-рая, изучая области приведения решает проблему эквивалентности положительных К. ф.- одну из центральных задач арифметич. теории К. ф. (см. Квадратичных форм приведение). Существенную роль играет теория Вороного типов решетки. Она имеет важные приложения в теории параллелоэдров. Теория типов получила применение в решении задач об экономнейшем решеточном покрытии n-мерного пространства шарами. Другой традиционный раздел геометрич. теории К. ф.- теория совершенных форм, также созданная Г. Ф. Вороным. Эта теория позволила решить Эрмита проблему арифметич. минимумов положительных К. ф., равнозначную задаче о плотнейшей решетчатой упаковке шаров в га-мерном пространстве. Задача о плотнейшей решетчатой упаковке шаров и задача об экономнейшем решетчатом покрытии шарами — наиболее известные примеры экстремальных задач, составляющих значительную часть К. ф. геометрии. К геометрической теории К. ф. можно также отнести нек-рые обобщения алгоритма цепных дробей, напр, алгоритм Вороного вычисления единиц кубического поля, теорию фундаментальных областей автоморфизмов неопределенных К. ф. Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Делоне Б. Н., "Успехи матем. наук", 1937, в. 3, с. 16-62; 1938, в. 4, с. 102-64; [3] Линник Ю. В., Эргодические свойства алгебраических полей, Л., 1967; [4] Малышев А. В., О представлении целых чисел положительными квадратичными формами, М.- Л., 1962; [5] его же, в кн.: Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974, с. 119-37; [6] Серр Ж. — П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972; [7] Аrf С, "J. reine und angew. Math.", 1941, Bd 183, S. 148-67; [8] Eichler M., Buadratische Formen und orthogonale Gruppen, 2 Aufl., В., 1974; [9] Hasse H., "J. reine und angew. Math.", 1923, Bd 152, S. 129 -48, 205 -24; 1924, Bd 153, S. 12-43, 76-93, 113 — 30, 158-62, 186-207; [10] He eke E., Mathematische Werke, Gott., 1959; [11] Jones B. W., The arithmatic theory of quadratic forms, N. Y., 1950; [12] L a m T. Y., The algebraic theory of quadratic forms, Reading, 1973; [13] Minkоwski H., Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-2, Lpz. — В., 1911; [14] O'Mearа О. Т., Introduction to quadratic forms, В., 1963; [15] Pall G., "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 344-64; [16] Pfister A., "Arch. Math.", 1965, Bd 16, S. 363-70; [17] Siege 1 C. L., Lecturis on the analytical theory of quadratic forms, 3 ed., Gott., 1963; [18] его же, Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-3, В., 1966; [19] Smith H. J. S., The collected mathematical papers, v. 1-2, Oxf., 1894; [20] Watson G. L., Integral quadratic forms, Camb., 1960; [21] Фоменко О. М., Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 5 — 91. А. В. Малышев.