Кусочно Линейная Топология

Раздел топологии, изучающий полиэдры. Под полиэдром понимается прежде всего подмножество топологического векторного пространства, представимоо конечным или локально конечным объединением выпуклых многогранников ограниченной размерности, а также топологич. полиэдры с фиксированной кусочно линейной структурой (см. ниже). Локальная конечность означает, что каждая точка имеет в объемлющем пространстве окрестность, пересекающуюся только с конечным числом элементов объединения. Понятие полиэдра является промежуточным между понятиями топологич. пространства и симплициального комплекса (последнее вводится для того, чтобы сделать более конструктивным изучение сначала пространств, гомеомор-фных полиэдрам, а затем и более общих пространств). Пространство, гомооморфное полиэдру, наз. топологическим полиэдром (t — по л и э д р о м). К классу t-полиэдров относятся важнейшие объекты конечномерной топологии, прежде всего сглаживаемые многообразия. Имея в виду финитизацию изучения полиэдров, рассматриваются следующие четыре категории В t объектами служат t-полиэдры, а морфизмами — непрерывные отображения. В объекты — полиэдры, а морфизмы — кусочно линейные отображения (pl-oтображения), т. е. отображения, линейно переводящие выпуклые многогранники нек-рого покрытия прообраза в многогранники нек-рого покрытия образа. Объектами в являются симплициальные комплексы, т. е. полиэдры с фиксированным правильным его покрытием симплексами — таким покрытием, что два симплекса могут пересекаться только по общей грани; морфизмы в — с и м п л и ц и а л ь н ы е отображения, т. е. pl -отображения, линейно переводящие каждый симплекс прообраза на нек-рый симплекс образа. Наконец, состоит из абстрактных комплексов (а-комплексов) и их симплициальных отображений, a-к о м п л е к с в есть не более чем счетное множество с выделенной системой его конечных подмножеств ограниченной мощности, к-рые наз. его симплексами, удовлетворяющей условиям: 1) с каждым симплексом s выделяются и все содержащиеся в нем подмножества — грани s; 2) каждый симплекс служит гранью не более чем конечного числа других симплексов. Отображение множеств, на к-рых определено строение а-комплекса, наз. симплипиальным, если оно переводит симплексы прообраза в симплексы образа. Размерностью симплекса в а-комплексе наз. уменьшенное на единицу число его элементов. Каждый элемент множества является гранью комплекса Аи наз. его в е р ш и н о й. Удобно считать, что каждый a-комплекс содержит пустой симплекс, обозначаемый 1. Имеются функторы забывания Именно, полиэдр определяет топологич. пространство, а pl -отображение непрерывно; это задает t, t(p).наз. пространством полиэдра Р. Каждый комплекс определяет полиэдр, а симшшциальное отображение комплексов есть pl -отображение; это задает р, р (К).наз. телом комплекса и обозначается |K|. Наконец, множество вершин комплекса Кимеет выделенные подмножества — множества вершин симплексов К, что определяет а-комплекс, причем симплициальное отображение комплексов определяет симплицнальное отображение соответствующих а-комплексов; это задает а, а (К). наз. схемой комплекса К. Построенные функторы не имеют естественных обращений. Они, однако, становятся эквивалентностями, если перейти к факторкатегориям. Естественные изоморфизмы наз. соответственно гомеоморфизмом в t, pl-т о м е о м о р ф и з м о м в с и м п л и ц и а л ь н ы м и з о м о р ф и з м о м в ив Каждому а-комплексу следующим образом можно поставить в соответствие его р е а л и з а ц и и. В топологич. векторном пространстве Rвыбирается множество точек bi во взаимно однозначном соответствии с вершинами а-комплекса А, к-рые находятся в общем положении в R(для этого достаточно, напр., чтобы размерность Rбыла больше удвоенной размерности А), причем в ограниченной части пространства может лежать только конечное число точек. Если на каждое множество точек bi, отвечающих одному симплексу в А, натянуть симплекс в R, то объединение этих симплексов дает комплекс, схемой к-рого служит А;он и наз. реализацией а-комплекса. Все реализации одного и того же а-комплекса изоморфны, так что функтор а устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами изоморфных комплексов в Ки в Любой полиэдр Рявляется телом нек-рого комплекса К, и в этом случае Кназ. прямолинейной триангуляцией Р, или просто триангуляцией, схема Кназ. абстрактной триангуляцией Р. Для pl -отображения существуют триангуляции Кдля Ри Lдля Q, так что f симп-лициально отображает Кв L. Различные триангуляции полиэдра не обязательно изоморфны, вследствие чего вводится более грубое отношение эквивалентности в Подразделением комплекса К 1 наз. комплекс K2 такой, что и каждый симплекс K2 лежит в нек-ром симплексе K1. Комплекс Ккомбинаторно эквивалентен К', если Ки К' имеют изоморфные подразделения. Комплексы Ки К' комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда |K| pl -гомеоморфно |K'|. Иначе говоря, функтор р устанавливает естественное соответствие между классами комбинаторно эквивалентных комплексов и pl- гомеоморфных полиэдров. Функтор tэпиморфен (по определению). Полиэдр Рназ. прямолинейной реализацией t-полиэдра t(P). Предположение о том, что любые две реализации t-полиэдра pl -гомеоморфны между собой, известное как основная гипотеза комбинаторной топологии (Hauptvermutung), оказалось неверным [3]. В связи с этим говорят о pl -строениях на t-полиэдрах: pl-c т р о е н и е задается гомеоморфизмом t-полиэдра на полиэдр, причем два гомеоморфизма определяют одну и ту же структуру, если является pl -гомеоморфизмом; определяют эквивалентные (но не обязательно совпадающие) структуры, если Р 1 и Р 2 pl -гомеоморфны. t-полиэдр с фиксированной pl -структурой также наз. полиэдром. Наконец, отношение комбинаторной эквивалентности в Кприводит с помощью функтора ак новому отношению эквивалентности в Для выражения этого отношения внутренними средствами в удобна операция звездного подразделения, определяемая следующим образом. Д ж о й н о м (или соединением) двух симплексов вершины к-рых находятся в общем положении в векторном пространстве R, наз. их выпуклая оболочка; ото — симплекс размерности обозначаемый Джойн о с пустым симплексом 1 совпадает с s. Джойном двух комплексов K1 и K2 расположенных в топологич. векторном пространстве Rтак, что каждый симплекс K1 находится в общем положении с каждым симплексом К 2, наз. комплекс, составленный из попарных джойнов симплекса из K1 и симплекса из К 2 (считается, что 1 лежит и в K1 и в K2). Звездой с и м п л е к с а а в комплексе К наз. подкомплекс состоящий из всех замкнутых симплексов, имеющих s своей гранью. Звезда может быть представлена как джойн s и нек-рого комплекса наз. л п н к о м (или поясом) s в K н составленного из тех симплексов звезды, к-рые не пересекают s. Пусть х — произвольная точка внутри s. Заменой в Ксимплексов звезды симплексами вида где — симплекс из — одна из гранен s, при сохранении остальных симплексов получается подразделение К, к-рое и наз. звездным подразделением Кс центром в s и обозначается sK. Два комплекса комбинаторно эквивалентны тогда н только тогда, когда они имеют изоморфные подразделения, получаемые последовательностями звездных подразделений (теорема Александера, [4]). Понятие звездного подразделения переносится в категорию Л. Для этого комплексы записываются в виде многочленов специального вида: переменными служат вершины комплекса, а одночлены — его симплексы, включая 1. При сложении многочленов повторяющиеся симплексы заменяются одним одночленом. Умножение многочленов (определенное, только если они не имеют общих переменных) интерпретируется как джойн соответствующих комплексов. Пусть фиксирован симплекс о в комплексе А, и А записан в виде где s вынесено за скобки из объединения тех одночленов, к-рые содержат s, т. е. входят в звезду То, что остается в скобке, есть линк — объединение остальных симплексов. После замены s на где — объединение граней s, кроме самого s, но включающее 1, получится новый комплекс . Переход а также и сам sA, наз. (абстрактным) звездным подразделением А. Операции звездного подразделения в Ки в согласованы с действием функтора а. и можно представить как формальную систему со счетным алфавитом, с многочленами указанного вида в качестве конструктивных объектов и звездным подразделением в качестве элементарных переходов от одного объекта к другому. Вместе с тем в становятся оправданными вопросы об алгоритмической разрешимости. В частности, неразрешим вопрос о комбинаторной эквивалентности а-комплексов (и, следовательно, о pl -гомеоморфизме полиэдров) (теорема Маркова, [5]). Финитизм комплексов первоначально имел целью введение инвариантов: инвариант определяется по триангуляции, а его инвариантность проверяется только при элементарных преобразованиях (моделью здесь служило введение эйлеровой характеристики). Однако этот метод не получил широкого распространения в связи с тем, что, во-первых, из-за нарушения Hauptvormutung он не дает доказательства топологич. инвариантности, а во-вторых, вычисление инвариантов по триангуляции является часто безнадежной задачей. Более или менее систематически этот путь применяется в топологии трехмерных многообразий и в теории узлов. В гомотопической топологии это привело к технике клеточных разбиений. Развитие идеи а-комплексов привело к теории полусимплициальных комплексов, позволяющих в гомотопич. топологии избегать несущественных топологич. трудностей. Основным объектом К. л. т. являются pl -многообразия, играющие важную роль соединяющего звена между дифференцируемыми и топологич. многообразиями. Понятие многообразия естественно вводится в каждую из четырех категорий В это просто топологич. многообразия, к-рые могут быть триангулированы, в это pi-м ногообразия — полиэдры, каждая точка к-рых имеет окрестность, pl -гомеоморфную кубу соответствующей размерности, в и в рассматриваются соответственно комбинаторные и формальные многообразия — комплексы (а-комплексы), звезды вершин к-рых комбинаторно эквивалентны стандартной триангуляции симплекса, состоящей из самого симплекса и всех его граней. В классе pl -многообразий также не верна Hauptvermutung. Построен пример некомбинаторной триангуляции топологич. многообразия (см. [7], [8]), в к-ром вложения нек-рых симплексов не локально плоски. Если предположить локальную плоскостность всех симплексов и, сверх того, выполнимость Пуанкаре гипотезы в размерностях 3 и 4, то можно доказать, что триангуляция многообразия является комбинаторным многообразием. Наконец, не выяснен (1982) вопрос о триангулируемости произвольного (метрнзуемого) многообразия, хотя построены примеры многообразий без комбинаторной триангуляции. Лит.:[1] Рурк К., Сандерсон Б., Введение в кусочно линейную топологию, пер. с англ., М., 1974; [2] М а н к р с Дж., Элементарная дифференциальная топология, в кн.: Милнор Дж., Сташеф Дж., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979, с. 270-359: [3] М i l n о r J., "Ann. of Math.", 1961, v. 74, p. 575-90; [4] A 1 e x a n d е r J., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1926, v. 28, p. 301-29; [5] M a p к о в А. А., "Докл. АН СССР", 1958, т. 121, М 2, с. 218 — 20; [6] К i r b у R., S i е h е n m a n n L., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1969, v. 75, p. 742-49; [7] Edwards R., "Notices Amer. Math. Soc.", 1975, v. 22. №2, A-334. А. В. Черпавский.