Кюннета Формула

Формула, выражающая гомологии (или когомологии) тензорного произведения комплексов или прямого произведения пространств через гомологии (когомологии) сомножителей. Пусть — ассоциативное кольцо с единицей, Аи С — цепные комплексы соответственно правых и левых -модулей. Пусть — комплекс, ассоциированный с тензорным произведением комплексов Аи Снад Если то имеет место точная последовательность градуированных модулей где а — гомоморфизм степени 0, a b — степени -1 (см. [2]). Для конечных комплексов имеется аналогичная точная последовательность с гомоморфизмом b степени +1. Если (напр., Аили С — плоский -модуль) и наследственно, то последовательность (1) существует и расщепляется [2], [3], так что Эта формула наз. формулой Кюннета; иногда формулой, или соотношением, Кюннета называют и точную последовательность (1). Имеет место обобщение формулы (1), в к-ром тензорное произведение заменяется произвольным двойным функтором Т( А, С).на категории -модулей со значениями в той же категории, ковариантным по каждому аргументу. Рассматривается также случай функтора Т, ковариант-ного по Аи контравариантного по С. В частности, функтор приводит к формуле, выражающей когомологии Н*( Нот( А, С)), где А — правый цепной, а С — левый коцепной комплексы над через а именно, если наследственно и (напр., Асвободен), то имеет место расщепляемая точная последовательность где b' — гомоморфизм степени 0, а b' — степени +1 (см. [2], [3]). Пусть X, Y — топологич. Пространства, a L, М — модули над кольцом главных идеалов R, причем Tor1(L, M) = 0. Тогда сингулярные гомологии пространств связаны следующей расщепляемой точной последовательностью где a — гомоморфизм степени 0, а b — степени -1. Если предположить дополнительно, что либо все и либо все и М конечно порождены, то аналогичная точная последовательность имеется для сингулярных когомологий: причем a — гомоморфизм степени 0, а b — степени + 1. Например., если R — поле, то а если при этом все или все конечномерны, то Имеются также аналогичные формулы для относительных гомологии и когомологий [3], [4]. В случае L=M=R модуль обладает структурой косого тензорного произведения алгебр, при этом a — гомоморфизм алгебр. Таким образом, если и все или все конечно порождены, то имеет место изоморфизм алгебр [3]: В случае, когда Xи Y — конечные полиэдры, К. ф. позволяет найти числа Бетти и коэффициенты кручения полиэдра через аналогичные инварианты полиэдров Xи Y. Именно эти результаты были получены самим Г. Кюннетом [1]. В частности, если есть k-e число Бетти полиэдра Xи — многочлен Пуанкаре полиэдра X, то В теории когомологий со значениями в пучке имеется следующий вариант К. ф. [6]. Пусть Xи Y — топологич. пространства со счетными базами, и — пучки Фреше на Xи Y(см. Когерентный аналитический пучок), И пусть . (или ) — ядерный п у ч о к (т. е. — ядерное пространство для всех открытых ). Тогда на определен пучок Фреше такой, что где — знак пополненного тензорного произведения, а открыты. Если пространства . и отделимы, то справедлива К. ф. В частности, когерентные аналитич. учки на комплексных аналитич. ространствах X, Y со счетными базами являются ядерными и где — аналитические обратные образы пучков и при проекциях Таким образом, если отделимы, то В алгебраической геометрии К. ф. обычно встречаются в таком варианте. Пусть Xи Y — алгебраические многообразия над полем k, а — когерентные алгебраич. пучки на Xи Yсоответственно. Тогда [9]: Здесь — пучок на модули сечений которого над (U — открытое аффинное подмножество в X, V — в У) суть Более общо, пусть — морфиз-мы в категории схем, — их расслоенное произведение, — квазикогерентные пучки модулей на Xи Y. Обобщая конструкцию пучка _ можно ввести пучки модулей модули сечения которых для аффинных S, X и Y изоморфны Тогда существуют [7] две спектральные последовательности ( Е r).и ('Е r).с начальными членами имеющие один и тот же предел. Эта громоздкая формулировка К. ф. приобретает более привычный вид в терминах производных функторов [11]: Если пучок или является плоским над S, то спектральная последовательность ( Е r).вырождается. Аналогично, ('Е r).вырождается, если все (или все ) плоские над S. Если обе спектральные последовательности ( Е r).и (' Е r).вырождаются, то К. ф. приобретает вид К. ф. имеется и для этальных пучков A-модулей на схемах Xи У, где А — конечное кольцо. Ее можно записать в виде где ! означает, что когомологий берутся с компактными носителями. В частности (см. [8]), для полных алгебраич. многообразий Xи Y К. ф. для l-адических когомологий имеет вид Для произвольных многообразий такая формула доказана лишь в предположении о возможности разрешения особенностей, напр., для многообразий надполем нулевой характеристики. Вариант К. ф. имеется и в K-теории. Пусть X- такое пространство, что группа К*(X).конечно порождена, и пусть Y — клеточное пространство. Тогда имеет место точная последовательность Z2 -градуированных модулей где a — гомоморфизм степени 0, a b — степени 1 (см. [5]). Частным случаем этого утверждения является Ботта теорема периодичности для комплексных расслоений. Известна также К. ф. в теории бордизмов [10]. Лит.:[1] Kunneth H., "Math. Ann.", 1923, Bd 90, S. 65-85; 1924, Bd 91, S. 125-34; [2] К a p т а н А., Э й л е н б е р г С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [3] Д о л ь д А. Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [4] С п е н ь е р Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [5] А т ь я М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [6] К а и р L., "Math. Z.", 1967, Bd 97, № 2, S. 158-68; [7] Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de geometrie algebrique, ch. 3, pt. 2, P., 1963. (Publ. Math. IHES, № 17); [8] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 3, В.- [a. o.], 1973; [9] S a m p s о n J., W a s h n i t z e r G., "111. J. Math.", 1959, v. 3, № 3, p. 389-402; [10] Коннер Э., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [11] Harts borne R., Residues and duality, В.- Hdlb.- N. Y., 1966. В. И. Данилов, А, Л. Онищик.