Кубатурная Формула

Формула для приближенного вычисления кратных интегралов вида Интегрирование выполняется по -множеству в евклидовом пространстве К. ф. наз. приближенное равенство Подинтегральная функция записана в виде произведения двух функций: первая р(х).считается фиксированной для данной К. ф. и наз. весовой функцией, вторая f(x) принадлежит достаточно широкому классу функций, напр., непрерывных и таких, что интеграл I(f) существует. Сумма в правой части (1) наз. кубатурной суммой, точки наз. узлами К. ф., а числа — ее коэффициентами. Обычно хотя это требование не является обязательным. Нахождение приближенного значения I(f) с помощью формулы (1) сводится к вычислению кубатурной суммы. При n=1 формула (1) и сумма в правой ее части наз. квадратурными (см. Квадратурная формула). Пусть — мультииндекс, здесь — неотрицательные целые числа; — одночлен степени от ппеременных; — число одночленов степени не выше т от п переменных; — одночлены, занумерованные так, что одночлены меньшей степени имеют меньший номер, а одночлены одной и той же степени нумеруются в любом порядке, напр. лексикографическом. При указанной нумерации а среди содержатся все одночлены степени не выше т. Пусть — многочлен степени т. Множество точек в комплексном пространстве С n, удовлетворяющих уравнению наз. алгебраич. гиперповерхностью порядка т. Один из способов получения К. ф. основан на алгебраич. интерполировании. Точки выберем так, чтобы они не лежали на алгебраич. гиперповерхности порядка т или, что равносильно, чтобы матрица Вандермонда была неособенной. Интерполяционный многочлен функции f(x).по ее значениям в в форме Лагранжа имеет вид где — многочлен влияния j-го узла: ( — символ Кронекера). Умножение приближенного равенства на р(х).и интегрирование по W приводит к К. ф. (1), в к-рой N=m и Существование интегралов (2) равносильно существованию моментов весовой функции Здесь и далее предполагается, что требуемые моменты р(х).существуют. К. ф. (1), узлы к-рой не лежат на алгебраич. гиперповерхности порядка т, их число N=m и коэффициенты определяются равенствами (2), наз. интерполяционной К. ф. Формула (1) обладает m-с в о й с т в о м, если она обращается в точное равенство, когда f(х) — любой многочлен степени не выше т; интерполяционная К. ф. обладает m-свойством. Для того чтобы К. ф. (1), обладающая m-свойством и с числом узлов была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен N. При n=1 это условие выполнено, так что квадратурная формула, обладающая m-свойством и с числом узлов является интерполяционной. Фактич. построение интерполяционной К. ф. сводится к выбору узлов и вычислению коэффициентов. Коэффициенты Cj можно находить из линейной алгебраич. системы которую получают, записывая, что К. ф. (1) (при N=m) точна для одночленов степени не выше т. Матрица системы совпадает с V. Пусть требуется построить К. ф. (1), к-рая обладает m-свойством, а число ее узлов меньше m. За счет выбора коэффициентов это сделать невозможно, поэтому неизвестными в (1) считаются не только коэффициенты, но и узлы. Таким образом, имеется N(n+1). неизвестных. Так как К. ф. должна обладать m-свойством, то это дает m уравнений Естественно потребовать, чтобы число неизвестных совпадало с числом уравнений: N(n+1)=m.. Это равенство ориентировочно определяет число узлов искомой К. ф. Если N=m/(n+1) — не целое, то полагаем означает целую часть m/(n+1) Требуемая К. ф. с указанным числом узлов не всегда существует. Если К. ф. существует, то она имеет в (n+1) раз меньше узлов, чем интерполяционная К. ф. Однако в этом случае узлы и коэффициенты определяются из нелинейной системы уравнений (3). Метод неопределенных параметров построения К. ф. состоит в том, что К. ф. ищется в таком виде, к-рый приводит к упрощению системы (3). Это возможно в тех случаях, когда W и р(х).обладают симметрией. Расположение узлов согласуется с симметрией W и р(х), при этом симметричным узлам сопоставляются одинаковые коэффициенты. Упрощение системы (3) связано с риском: система (3) может иметь решение, а упрощенная — не имеет. Пример. Пусть Требуется построить К. ф. с 7-свойством; n=2, m=M, (2, 7)=36 и число узлов равно 12. Узлы расположим следующим образом. Первую группу узлов образуют точки пересечения окружности с центром в начале координат и радиусом ас координатными осями. Вторая группа узлов состоит из точек пересечения окружности с тем же центром и радиусом bс прямыми Третья группа узлов образуется как и вторая, при этом радиус окружности обозначается с. Коэффициенты, отвечающие узлам одной и той же группы, считаются одинаковыми и равными А, В, С для узлов первой, второй и третьей групп соответственно. Такой выбор узлов и коэффициентов обеспечивает точность К. ф. для одночленов у к-рых хоть одно из чисел iи jнечетно. Чтобы К. ф. имела 7-свойство, достаточно потребовать, чтобы она была точна для Это приводит к нелинейной системе шести уравнений относительно шести неизвестных а, Ъ, с, А, В, С. Решая ее, получаем К. ф., узлы к-рой принадлежат К% и коэффициенты положительны. Пусть G — конечная подгруппа группы ортогональных преобразований О(п).пространства оставляющих неподвижным начало координат. МножествоW и функция р(х).наз. инвариантными относительно G, если для любого Совокупность точек вида ga, где а — фиксированная точка и g пробегает все элементы группы G, наз. орбитой, содержащей а. К. ф. (1) наз. инвариантной относительно G, если W и р(х).инвариантны относительно G и совокупность ее узлов представляет собой объединение орбит, при этом узлам одной и той же орбиты сопоставляются одинаковые коэффициенты. Инвариантными относительно G множествами являются все пространство шар и сфера с центром в начале координат, а если G — группа преобразований правильного многогранника Uв себя, то инвариантен и U. Таким образом, инвариантные К. ф. можно рассматривать, когда в качестве W берутся шар, сфера, куб и любой правильный многогранник, а в качестве р (г) — любая инвариантная относительно G функция, напр., р(r), где Теорема 1. Чтобы инвариантная относительно G К. ф. обладала m-свойством, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для тех многочленов степени не выше т, к-рые инвариантны относительно G (см. [5]). Метод неопределенных параметров можно определить как метод построения инвариантных К. ф., обладающих m-свойством. В приведенном выше примере в качестве G можно взять группу симметрии квадрата. Теорема 1 имеет существенное значение при построении инвариантных К. ф. Для простых областей интегрирования, таких, как куб, симплекс, шар, сфера, и для веса р(х)=1 можно построить К. ф. кратным применением квадратурных формул. Напр., когда — куб, то с помощью квадратурной формулы Гаусса с kузлами i/ и коэффициентами А;может быть получена К. ф. имеющая узлов и точная для всех одночленов таких, что в частности для всех многочленов степени не выше 2k-1. Число узлов таких К. ф. быстро возрастает. Этим фактом определяются границы их применимости. Всюду в дальнейшем считается, что весовая функция сохраняет знак, для определенности Положительность коэффициентов К. ф. с таким весом является ценным ее свойством. Теорема 2. Если область интегрирования W замкнута и р(х).удовлетворяет (4), то существует интерполяционная К. ф. (1), обладающая m-свойством, с положительными коэффициентами и узлами, принадлежащими W. Вопрос о фактическом построении такой К. ф. остается открытым. Теорема 3. Если К. ф. с весом, удовлетворяющим (4), имеет действительные узлы и коэффициенты и обладает m-свойством, то среди ее коэффициентов не менее положительных, — целая часть числа т/2. При условиях теоремы 3 число l является нижней границей для числа узлов: Это неравенство остается справедливым и без предположения о действительности Среди К. ф. с m-свойством большой интерес представляют те, к-рые имеют наименьшее число узлов. В случае m=1, 2 такие формулы легко найти при любом пи для произвольных при этом наименьшее число узлов совпадает с нижней границей l: равно 1 в первом случае и n+1 — во втором. При наименьшее число узлов зависит от области и веса. Напр., при т=3 для области с центральной симметрией и р(х)=1 наименьшее число узлов равно 2п, а для симплекса и р(х)=1 оно равно n+2. При эти числа различны. В силу (4) является скалярным произведением в пространстве многочленов. Пусть — векторное пространство многочленов степени k, к-рые ортогональны в смысле скалярного произведения (5) ко всем многочленам степени не выше k-1. Размерность равна М(п-1, k) — числу одночленов степени k. Многочлены из наз. ортогональными многочленами W и р(х). Теорема 4. Чтобы существовала К. ф. (1), обладающая (2k-1) -свойством и с числом узлов равным нижней границе, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы были общими корнями всех ортогональных многочленов W и р(х).степени k. Теорема 5. Если портогональных многочленов степени kимеют kn конечных и попарно различных общих корней, то эти корни можно взять в качестве узлов К. ф. (1), к-рая обладает (2k-1) -свойством. Погрешность К. ф. (1), в к-рой р(x)=1 и W ограничено, определяется равенством Пусть В — банахово пространство функций такое, что l(f) является линейным функционалом в В. Норма функционала характеризует качество рассматриваемой К. ф. для всех функций пространства B. Другой подход к построению К. ф. основан на минимизации ||l|| как функции узлов и коэффициентов искомой кубатурной формулы (при фиксированном числе узлов). Даже при n=1 реализация этого подхода связана с трудностями. Для любого важные результаты получил С. Л. Соболев [4]. Вопрос о минимизации ||l|| по коэффициентам при заданных узлах решается до конца; задача выбора узлов рассматривается в предположении, что узлы образуют параллелепипедальную решетку и минимизация осуществляется лишь за счет параметров этой решетки. В качестве В, в частности, берется пространство при этом искомая К. ф. считается точной для многочленов степени не выше m-1. Лит.:[1] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; [2] К р ы л о в В. И., Шульгина Л. Т., Справочная книга по численному интегрированию, М., 1966; (3] S t r о u d A. H., Approximate calculation of multiple integrals, [N. Y.], 1971; [4] С о б о л е в С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; [51 е г о же, "Сиб. матем. ж.", 1962, т. 3, № 5, с. 769-96; [6] М ы с о в с к и х И. П., Интерполяционные кубатурные формулы, М., 1981. И. П. Мысовских.