Круговое Расширение

Поля k — расширение K, получаемое присоединением к k первообразного корня из единицы нек-рой степени п. Иногда термин "К. р." относят и к любому промежуточному подполю расширения Кнад k. К. р. наз. также бесконечное алгебраич. расширение, являющееся объединением конечных К. р. Важный пример К. р. — круговые поля, отвечающие случаю, когда — поле рациональных чисел. Пусть поле kимеет характеристику 0 и — его К. р., полученное присоединением первообразного корня Тогда поле является композитом kи кругового поля Поэтому многие свойства круговых полей переносятся и на К. р. Напр., будет нормальным абелевым расширением поля k(причем ото справедливо и для полей положительной характеристики), группа Галуа расширения является подгруппой группы Галуа расширения в частности, ее порядок делит где — функция Эйлера. Если k — поле алгебраич. чисел, то в расширении могут ветвиться только простые девизоры, делящие п, хотя при дивизор поля k, делящий п, может остаться неразветвленным в К. р. поля алгебраич. чисел с группой Галуа Г, изоморфной аддитивной группе целых l-адических чисел Zl, наз. круговыми Г-расширениями (см. [2], [3], [4]). Такое Г-расширение в случае, когда имеет вид где Лит.:[1] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Шафаревич И. Р., Дзета-функция, М., 1969; [3] Кузьмин Л. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, №2, с. 267-327; [4] I w a s a w а К., "Ann. Math.", 1973, v. 98, №2, p. 246 — 326. Л. В. Кузьмин.