Кручение

1) К. к р и в о й — величина, характеризующая отклонение пространственной кривой от соприкасающейся плоскости. Пусть Р — произвольная точка кривой и Q — точка кривой близкая Р, — угол между соприкасающимися плоскостями кривой в точках Ри Q, а — длина отрезка PQ кривой Абсолютным кручением кривой в точке Рназ. величина К. кривой определяется равенством и считается положительным (отрицательным), если вращение соприкасающейся плоскости при движении вдоль кривой в сторону возрастания s от вектора бинормали к вектору главной нормали происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке) при наблюдении из точки Р. Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой точке, где ее кривизна отлична от нуля, имеет К. Если r=r(s) — естественная параметризация кривой, то К. иногда наз. второй кривизной. Кривизна и К., заданные как функции длины дуги, определяют кривую с точностью до положения в пространстве. Кривая, у к-рой К. в каждой точке равно нулю,- плоская. Е. В. Шикин. 2) К. геодезическое — обобщение К. кривой, инвариант полосы в пространстве Е 3, определяемый формулой где — касательный вектор к базовой кривой Г полосы, — нормальный вектор полосы. Обычное К. кривой Г ненулевой кривизны выражается через а и нормальную и геодезич. кривизны bи спо формуле Равенство нулю геодезич. К. характеризует полосы кривизны, в частности для полос, принадлежащих поверхности в — кривизны линии. Аналогичные понятия вводятся для полос в римано-вом пространстве (см. [1], [2]). 3) К. подмногообразия — обобщение К. кривой, кривизна связности, индуцированной в нормальном расслоении многообразия погруженного в риманово пространство Пусть — формы связности в — формы эйлеровых кривизн Тогда формы определяют риманово кручение, а формы — гауссово кручение Риманово К. и гауссово К. связаны соотношением где — компоненты тензора кривизны Vn в направлении бивектора, касательного к — ортогональный кобазис касательного пространства к Тензоры получающиеся в разложении форм К. по формам нэз. тензорами гауссова и риманова кручения (см. [11,'[4]). П р и м е р. Пусть М 2 — поверхность в евклидовом пространстве Е 4. Тогда гауссово и риманово К. равны и сводятся к единственному числу где Е, F, G — коэффициенты первой, а — второй квадратичных форм М 2 в Е 4. Равенство в нек-рой окрестности геометрически интерпретируется как вырождение эллипса кривизны в отрезок, тогда существует два семейства ортогональных линий кривизны, касательные к к-рым соответствуют концам этого отрезка. Условие локально необходимо и достаточно для того, чтобы М 2 располагалась в римановом пространстве V3, погруженном в Е 4, и нормаль к М 2 в касательном пространстве к V3 была направлена по главному вектору Риччи тензора V3. В частности, нулевое К. необходимо для уплощения М 2 в E3. 4) К. аффинной связности Г — величина, выражающая отклонение от перестановочности ковариантных производных какой-либо функции на многообразии М" с этой связностью Г. Она определяется преобразованием где X, Y — векторные поля на — ковариант-ная производная Yвдоль X,[X, Y]- коммутатор Xи У. В локальных координатах таких, что преобразование Sимеет вид тензор — компоненты связности Г в выбранном базисе, наз. тензором кручения. Эквивалентным образом К. определяется ковариантным дифференциалом векторнозначной 1-формы смещения данной связности к-рый наз. формой кручения; здесь — связности формы для Г. В локальном кобазисе (дуальном базису ) форма где имеет те же значения, что и выше. Геометрич. смысл К. аффинной связности Г заключается в том, что развертка каждого бесконечномалого контура L, выходящего из точки и возвращающегося в нее на касательное пространство к М n в х, уже не будет замкнутой кривой. Векторная разность между концами развертки с точностью до малых 2-го порядка имеет компоненты Другими словами, этот вектор пропорционален ограниченной контуром Lдвумерной площадке с бивектором Эти представления лежат в основе интерпретации упругой среды с непрерывным распределением источников внутренних напряжений в виде дислокаций, вектор тогда оказывается аналогом так наз. вектора Бюргерса (см. [4]-[7]). Пример. В двумерном римановом пространстве с метрической связностью тензор К. сводится к вектору: здесь — метрич. бивектор. Пусть в ЛЯ дан малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, b, с, суглами А, В, С. Тогда главная часть проекции вектора в точке Ана сторону АВ равна отношению величины к площади треугольника а, а на перпендикуляр к АВ — величине , деленной на 0. Таким образом, в М 2 нулевого К. имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с о. 5) К. пространства А — элемент Уайтхеда группыWh A, определяемый парой (X, А), где А- конечное клеточное пространство, и вложение является гомотопич. эквивалентностью. Эквивалентно, К.- элемент группы Уайтхеда фундаментальной группы . К. инвариантно при клеточных расширениях и стягиваниях и при клеточных измельчениях. Доказана топологич. инвариантность К. Если Аодносвязно, то его К. равно нулю. Если (W; M0, M1) — произвольный h-кобордизм, то где K — клеточное пространство, ассоциированное с данным разложением на ручки многообразия W(от многообразия М 0), это — кручение h-кобордизма. Пусть М f — цилиндр клеточного отображения f: являющегося гомотопич. эквивалентностью. Тогда не всегда равно нулю. Оно определяет по формуле элемент наз. кручением отображения f(иногда К. наз. сам ). Если то наз. простой гомотопической эквивалентностью (см. [8]). 6) К. конечно порожденной абелевой группы G — группа Т, состоящая из всех элементов конечного порядка v группы G. Числа v>l могут быть однозначно с точностью до перестановки выбраны в виде степеней простых чисел, и тогда они наз. коэффициентами кручения группы G (см. [9]). Лит.:[1] К а р т а н Э., Риманова геометрия в ортогональном репере, пер. с франц., М., 1960; [2] Б л я ш к е В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; [3] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 1971, с. 123-68; [4] 3 у л а н к е Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975; [5] Н орден А. П., Пространства аффинной связности, 2 изд., М., 1976; [6] К а р т а н Э., Пространства аффинной, проективной и конформной связности, [пер. с франц.], Казань, 1962; [7] Схоутен Я.-А., Тензорный анализ для физиков, пер. с. англ., М., 1965; [8] Р у р к К., Сандерсон Б., Введение в кусочно линейную топологию, пер. с англ., М., 1974; [9] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967. М. И. Войцехоеский.