Кристаллографическая Группа

Дискретная группа движений n-мерного евклидова пространства Е п, имеющая ограниченную фундаментальную область. Две К. г. считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований пространства Е п. Происхождение теории К. г. связано с изучением симметрии орнаментов ( п=2).и кристаллических структур (n=3). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трехмерных) К. г. была получена в конце 19 в. Е. С. Федоровым ц несколько позже А. Шёнфлисом (см. [2], [3], а также [6], [7], [9]). С точностью до эквивалентности имеется 17 плоских и 219 пространственных К. г.; если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряженности при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230. В 1910 Л. Бибербахом были исследованы К. г. в произвольной размерности [4]. Он доказал, в частности, следующие теоремы. 1) Всякая re-мерная К. г. Г содержит плинейно независимых параллельных переносов; группа Gлинейных частей преобразований из Г конечна. (Для n=3 это было доказано в [3].) 2) Две К. г. эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы. 3) При любом пимеется лишь конечное число n-мерных К. г., рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта). Теорема 1) позволяет дать следующее описание строения К. г. как абстрактных групп. Пусть L — совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих К. г. Г. Тогда L — нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная и совпадающая со своим централизатором в Г. Наличие такой нормальной подгруппы Lв абстрактной группе Г является и достаточным условием того, чтобы группа Г была изоморфна К. г. [7]. Группа G линейных частей К. г. Г сохраняет решетку L', иными словами, в базисе решетки Lпреобразования из G записываются целочисленными матрицами. Для того чтобы задать К. г. Г, нужно, помимо G и L, указать для каждого такой вектор a(g), что преобразование принадлежит группе Г. Вектор a(g).определен с точностью до прибавления вектора из L. Отображение является одномерным коциклом на Gсо значениями в V/L, где V — векторное пространство, ассоциированное с Е п. Любая тройка — конечная линейная группа, L -G-инвариантная решетка и а — одномерный коцикл на G со значениями в V/L, соответствует указанным образом нек-рой К. г. При этом тройки — когомологичные коциклы, соответствуют эквивалентным К. г. Нулевому классу когомологпй соответствует расщепляемая (или с и м м о р ф н а я) К. г., к-рая, при подходящем выборе начала отсчета, состоит из всех преобразований вида где В матричной интерпретации описание всех n-мерных К. г. сводится к описанию всех конечных групп целочисленных матриц порядка п(с точностью до сопряженности в группе ) и, для каждой такой группы G, к вычислению группы когомологий Двум классам когомологий отвечают эквивалентные К. г. тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга нормализатором группы G в Теорема 2) Бибербаха и результат X. Цассенхауза [7] означают, что естественный гомоморфизм является изоморфизмом. Это легко может быть выведено из точной последовательности когомологий группы G. Две К. г. относятся к одному классу (соответственно арифметическому классу), если их группы линейных частей сопряжены в (соответственно в ). При ге=3 имеется 32 класса и 73 арифметических класса К. г. Среди конечных групп целочисленных матриц можно выделить группы симметрии решеток, т. е. группы всех ортогональных преобразований, сохраняющих какую-либо заданную решетку в векторном пространстве (и записанных в базисе этой решетки). В 1848 О. Браве (A. Bravais) определил все возможные группы симметрии 3-мерных решеток и разбил в соответствии с этим все 3-мерные решетки на 14 типов (так наз. типы Браве). Подгруппы группы являющиеся группами симметрии решеток, наз. подгруппами Браве. Подгруппы Браве можно интерпретировать также как стационарные подгруппы для естественного действия группы на множестве положительно определенных квадратичных форм от n переменных. Поэтому для их нахождения может быть использована теория приведения (см. [11]). Всякая максимальная конечная подгруппа группы является подгруппой Браве (но не наоборот). Приводимая таблица дает число конечных подгрупп в группе (рассматриваемых с точностью до сопряженности). п Число максимальных конечных подгрупп Число подгрупп Браве Число конечных подгрупп 1 1 1 2 2 2 5 13 3 4 14 73 4 9 64 710 5 17 ? ? Пересечение подгрупп Браве также есть подгруппа Браве. Наименьшая подгруппа Браве содержащая группу G линейных частей К. г. Г и рассматриваемая с точностью до сопряженности в (соответственно в ), наз. геометрической (соответственно арифметической) голоэдрией группы Г. Если Г — К. г. общего положения в том смысле, что ее нельзя аффинным преобразованием перевести в К. г., решетка параллельных переносов к-рой обладает меньшей симметрией, то совпадает с группой симметрии решетки параллельных переносов группы Г. Две К. г. относятся к одной сингонии (соответственно типу Браве), если их геометрические (соответственно арифметические) голоэдрии совпадают. При n=3 имеется 7 сингонии и 14 типов Браве кристаллографич. групп. Линейные представления К. г. Неприводимые конечномерные комплексные линейные представления К. г. Г описываются следующим образом. Пусть — какой-либо характер (гомоморфизм в мультипликативную группу комплексных чисел) группы L, и s — такое неприводимое представление группы что при Тогда представление группы Г, индуцированное представлением s подгруппы (см. Индуцированное представление), неприводимо. Всякое неприводимое представление группы Г получается описанным способом (см. [9], [10]). Лит.:[1] Браве О., Избр. научные труды, Л., 1974, с. 41 -138; [2] Ф е д о р о в Е. С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949, с. 111 — 255; [3] Sсhоеnflies A., Kristallsysteme und Kristallstruktur, Lpz., 1891; [4] В i e b e r-b а с h L., "Math. Ann.", 1911, Bd 70, S. 297-336; 1912, Bd 72, S. 400-12: [5] Д е л о H e Б., Па Дуров Н., Александров А., Математические основы структурного анализа кристаллов..., Л.- М., 1934; [6] Шубников А. В., Атлас кристаллографических групп симметрии, М.-Л., 194В; [7] Zassenhaus H., "Comm. math, hclv.", 1948, v. 21, p. 117 — 141; [8] М а л ь ц е в А. И., Избр. труды, т. 1- Классическая алгебра, М., 1976, с. 371-75; [9] Л ю б а р с к и й Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1957; [10] Фаддеев Д. К., Таблицы основных унитарных представлений федоровских групп, М.- Л., 1961; [11] Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И., в кн.: РГгоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 2, М., 1973, с. 119 — 254. Э. Б. Винберг.