Коши Распределение

Непрерывное распределение вероятностей с плотностью и функцией распределения где — параметры. К. р. одновершинно и симметрично относительно точки x=m, являющейся модой и медианой этого распределения. Моменты положительного порядка, в том числе и математич. ожидание, не существуют. Характеристич. функция имеет вид Класс К. р. замкнут относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет К. р. с параметрами l и m, то случайная величина Y=aX+b также имеет К. р. с параметрами l'-|a|l и m'=am+b. Класс К. р. замкнут относительно операции свептки: иначе, сумма независимых случайных величин с К. р. снова имеет К. р. Таким образом, К. р., также как нормальное распределение, принадлежит к классу устойчивых распределений, а именно, является симметричным устойчивым распределением с показателем 1. Следствием соотношения (*) является следующее свойство К. р.: если случайные величины X1, . . ., Х n независимы и имеют одно и то же К. р., то арифметическое среднее имеет такое же распределение, как и каждая величина Х k. Еще одна особенность К. р. состоит в том, что в семействе К. р. распределение суммы случайных величин может быть задано формулой (*), даже если величины зависимы: напр., если Xи Y независимы и имеют одинаковое К. р., то случайные величины Х+Х и X+Y имеют одно и то же К. р. К. р. с параметрами есть t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным 1. К. р. с параметрами совпадает с распределением случайной величины где Xи Yнезависимы и нормально распределены с параметрами (0, ) и (0, 1) соответственно. Такое же К. р. имеет функция " случайной величины z, равномерно распределенной на отрезке К. р. определяется также и в пространствах размерности больше единицы. К. р. рассмотрено О. Коши (A. Cauchy). Лит.:ШФеллер В., Введение и теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967. А. В. Прохоров.