Коши Критерий

1) К. к. сходимости числовой последовательности: для того чтобы последовательность чисел (действительных или комплексных) х n, n=1, 2, . . ., имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что для всех выполнялось неравенство К. к. сходимости числовой последовательности обобщается в критерий сходимости точек полного метрич. пространства. Последовательность точек полного метрич. пространства сходится в том и только в том случае, когда для любого существует такое N, что для всех выполняется неравенство 2) К. к. существования предела функций n переменных Пусть функция f определена на множестве Xre-мерного пространства Rn и принимает числовые (действительные или комплексные) значения, а — предельная точка множества X(или символ бесконечность, в этом случае множество Xнеограничено). Конечный предел существует тогда и только тогда, когда для любого найдется такая окрестность U=U(a). точки а, что для любых и выполняется неравенство Этот критерий обобщается на более общие отображения: пусть X — топологич. пространство, а — его предельная точка, в к-рой выполняется первая аксиома счетности, Y — полное метрич. пространство и f — отображение Xв Y. Для того чтобы существовал предел необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала окрестность U=U(a).точки атакая, что для всех выполнялось неравенство 3) К. к. равномерной сходимости семейства функций. Пусть X — некоторое множество, Y — топологич. пространство, удовлетворяющее в предельной точке первой аксиоме счетности, R- полное метрич. пространство, f(x, у).- отображение множества Семейство отображений f(x, у), отображающих при фиксированном множество Xв Я, является равномерно сходящимся на Xпри если для любого существует такая окрестность U=U(y0).точки y0, что для всех и всех выполняется неравенство В частности, если Y — множество натуральных чисел и то последовательность равномерно сходится на множестве Xпри тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N, что для всех и всех номеров и выполняется неравенство 4)К. к. сходимости ряда: числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N, что для всех и всех целых выполняется неравенство Для кратных рядов аналогичный критерий сходимости наз. критерием Коши- Штольца. Напр., для того чтобы двойной ряд сходился по прямоугольным частичным суммам необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое N, что при всех и всех целых выполнялось неравенство Эти критерии обобщаются на ряды в банаховых пространствах (вместо абсолютной величины берутся нормы соответствующих элементов). 5) К. к. равномерной сходимости ряда: пусть — функции, определенные на нек-ром множестве Xи принимающие числовые значения. Для того чтобы ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что для всех целых выполнялось неравенство Этот критерий также переносится на кратные ряды, причем не только на числовые, но и на ряды, члены к-рых принадлежат банаховым пространствам, т. е. когда и п (х).являются отображениями множества Xв нек-рое банахово пространство. 6) К. к. сходимости несобственных интегралов: пусть функция f определена на полуинтервале принимает на нем числовые значения и при любом интегрируема (по Риману или по Лебегу) на отрезке [ а, с]. Для того чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое что для всех удовлетворяющих условию выполнялось неравенство Аналогичным образом критерий формулируется и для несобственных интегралов других типов, а также обобщается на случай, когда функция f зависит от нескольких переменных и ее значения лежат в банаховом пространстве. 7) К. к. равномерной сходимости несобственных интегралов: пусть функция f(x, у).при каждом фиксированном где Y — некоторое множество, определена на полуинтервале принимает числовые значения и при любом интегрируема по хна отрезке [ а, с]. Для того чтобы интеграл равномерно сходился на множестве У, необходимо, и достаточно, чтобы для любого нашлось такое что для любых удовлетворяющих условиям и всех выполнялось неравенство Этот критерий также переносится на несобственные интегралы других типов, на случай функций многих переменных и на функции, значения к-рых лежат в банаховых пространствах. Лит.:[1] С а u с h у A. L., Analyse algebrique, P., 1821; [2] Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; [3] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [4] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1971, т. 2, М., 1973; [5] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т .1 — 2, М., 1981; 16] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975; [7] Уиттекер Э.- Т., В а т с о н Дж. — Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963. Л. Д. Кудрявцев.