Коши Интеграл

1) К. и. — определенный интеграл от непрерывной функции одного действительного переменного. Пусть функция f(x).непрерывна на отрезке наз. определенным интегралом по К о ш и от функции f(x) на отрезке [ а, b]и обозначают К. и. — частный случай Римана интеграла. Определение дано О. Конш в [1]. Лит.:[1] С а u с h у A. L., Resume des lecons donnees ft l'Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal, t. 1, P., 1823. Л. Д. Кудрявцев. 2) К. и. — интеграл с ядром Коши выражающий значения регулярной аналитич. функции f(z) внутри контура Lчерез ее значения на L. Точнее, пусть f(z) — регулярная аналитич. функция комплексного переменного z в области Dи L — замкнутая кусочно гладкая жорданова кривая, расположенная в Dвместе со своей внутренностью G, причем обход Lсовершается против часовой стрелки. Тогда справедлива основная в теории аналитич. функций одного комплексного переменного интегральная формула Коши: Стоящий справа в формуле (1) интеграл и наз. интегралом Коши. Впервые, по-видимому, К. и., применительно к частным ситуациям, появляется в работах О. Коши [1]. К. и. характеризуется, таким образом, двумя условиями: 1) К. и. берется по замкнутой гладкой или хотя бы кусочно гладкой кривой L;2) подинтегральная функция К. и. имеет вид где а f(z) — регулярная аналитич. функция на Lи внутри Л. Если в К. и. т. е. если z расположена во внешности кривой L, то при сохранении условий 1) и 2): В частности, если L — окружность радиуса р с центром z, т. е. то из (1) следует т. е. значение f(z) в любой точке равно среднему арифметическому ее значений на любой достаточно малой окружности с центром z. Формула (1) позволяет получить и все остальные элементарные свойства аналитич. функций. Если, с другой стороны, f(z).является регулярной аналитич. функцией в бесконечной области — внешности замкнутой кривой Lи на L, то справедлива интегральная формула Коши для бесконечной области: Пусть теперь Г — некоторая, не обязательно замкнутая, кусочно гладкая кривая, расположенная в конечной плоскости — непрерывная комплексная функция на Г и z — точка, не лежащая на Г. И н т е г р а л о м типа Коши (и. т. К.) наз. обобщение К. и. в виде Функцию наз. иногда плотностью интеграла типа Кош и. Простейшие свойства и. т. К.: 1) F(z) — регулярная аналитич. функция переменного z в любой области, не содержащей точек Г; 2) производные F(n)(z) выражаются формулами 3) функция регулярна в бесконечности, причем при С точки зрения общей теории аналитич. функций и применений к механике и физике, основное значение имеет вопрос о существовании граничных значений и. т. К. при приближении к Г и об их аналитич. выражении. К. Если выполнены аналогичные (12) условия то и. т. К.-С. (8) обращается в интеграл Коши-Стилтьеса (и. К.-С.): т. е. угловые граничные значения изнутри Г совпадают с производной почти всюду на Г или, иначе говоря, угловые граничные значения извне Г равны нулю почти всюду на Г. Условия (13) сразу обеспечивают абсолютную непрерывность функции Ф(s) на отрезке [0, l], а следовательно, на самом деле в этом случае и. К.-С. (14) является интегралом К о ш и — Лебега (и. К.-Л.) с плотностью . Таким образом, класс функций, представимых и. К.-С., совпадает с классом функций, представимых и. К.-Л. Важной задачей представляется внутренняя харак-теризация классов функций, регулярных в области D, ограниченной замкнутой спрямляемой кривой Г, и представимых К. и. (11), и. т. К.-Л. (9) или и. т. К.-С. (8) (о наиболее важных классах и N*(D).см. в ст. Граничные свойства аналитических функций). В простейшем случае, когда } — единичный круг и — единичная окружность, и. т. К.-С., принимающий в этом случае вид изображает всегда функцию класса Обратная теорема неверна: совокупность функций классов шире, чем совокупность функций, представимых в виде (15). Напротив, совокупность функций, представимых в Dи. К.-С. или К. и., совпадает с классом Н 1. В случае произвольной односвязной области D, ограниченной спрямляемой кривой Г, класс функций, представимых в D и. К.-С. или К. и., совпадает с классом Смирнова Ej (см. Граничные свойства аналитических функций). Характеристики классов функций, пред-ставимых и. т. К.-С. или и. т. К.-Л., значительно сложнее. Пусть f(z) — произвольная (не аналитическая) функция класса С 1 в конечной замкнутой области ограниченной кусочно гладкой жордановой кривой L. Иногда интегральной формулой Коши наз. также следующее обобщение классич. формулы (1): Эта формула встречается, начиная, по-видимому, с работ Д. Помпею (D. Pompeiu, 1912). Она известна также как формула Помпею, формула Бореля-Помпею, формула Коши- Грина и находит многочисленные приложения в теории обобщенных аналитич. функций, сингулярных интегральных уравнений и в различных прикладных вопросах. Пусть f(z) — регулярная аналитич. функция многих комплексных переменных в замкнутом поликруге Тогда в каждой точке Dфункция f(z) представима кратным интегралом Коши: где — остов поликруга, Формула (17) дает простейший аналог К. и. для окружности но при n>1 интегрирование в (17) распространено уже не на всю границу поликруга, а лишь на его остов. Вообще, пусть — поликруговая область в СЩ, составленная как произведение односвязных плоских областей Dс гладкими границами — остов D, представляющий собой гладкое и-мерное многообразие. Формула (17) распространяется и на этот случай. Большое значение в теории аналитич. функций многих комплексных переменных имеют более глубокие обобщения интегральной формулы Коши, в первую очередь такие, как Лере формула, названная самим Ж. Лере (J. Leray) формулой Коши — Фантапье, и Вохнера — Мартинелли представление. В связи с этим при n>1 изучаются в основном граничные свойства интегральных представлений, отличных от (17). Лит.:[1] С а u с h у A. L., Sur la mecanique celeste et sur un nouveau calcul appele calcul des limites, Turin, 1831 (или Euvres completes, ser. 1, t. 8, P., 1892); [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, 1976; [3] М а р-кушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1. М., 1967; [4] М у с х е л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [5] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [6] П р и в а л о в И. И., Интеграл Cauchy, Саратов, 1918; [7] е г о же, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [8] X а в и н c о н С. Я., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1963, М., 1965, с. 5-80; [9] X в е д е л и д з е Б. В., в кн.: "Современные проблемы математики", т. 7, М., 1975, с. 5-162; [10] С а 1 d е r o n А. Р., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1977, v. 74, №4, p. 1324-27. Е. Д. Соломенцев.