Коши — Адамара Теорема

Пусть задан степенной ряд Если то ряд (1) сходится только в точке z=a; если то ряд (1) абсолютно сходится в круге радиуса и расходится вне этого круга при если то ряд (1) абсолютно сходится при всех Содержание К. — А. т. выражается, таким образом, формулой Коши — Адамара (2), к-рую при этом следует понимать в расширенном смысле, включая равенства Иначе говоря, содержание К.- А. т. состоит в том, что внутренность множества точек (абсолютной) сходимости ряда (1) есть круг радиуса (2). В случае действительного степенного ряда (1) формула (2) определяет радиус интервала сходимости В основном К.- А. т. была высказана О. Коши (A. Cauchy) в его лекциях [1], опубликованных в 1821, полную ясность в формулировку и доказательство внес Ж. Адамар [2]. Для степенных рядов но n комплексным переменным обобщением формулы Коши — Адамара является следующее соотношение: к-рому удовлетворяют сопряженные радиусы сходимости r1 . . . , rn ряда (3) (см. Круг сходимости). Записав соотношение (4) в виде получают уравнение, определяющее границу нек-рой логарифмически выпуклой кратно круговой области с центром а, к-рая и является внутренностью множества точек абсолютной сходимости ряда (3) при n>1. Лит.:[1] К о ш и О. Л., Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864; [2] Н a d a m a r d J., "J. math, pures et appl." (4), 18Я2, t. 8, p. 101-86; [3]Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [4] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев.