Кос Теория

Раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р 0 и Р 1 в трехмерном пространстве R3, содержащих упорядоченные множества точек и из га простых дуг l1, ..., l п, пересекающих каждую параллельную плоскость Pt между Р 0 и Р 1, однократно и соединяющих точки с точками Считается, что а,- лежат на прямой La в Р й, точки bi- на прямой Lb в Р 1, параллельной La, причем ft,- расположены под а i для каждого г (см. рис. 1). Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны. Нить li косы w соединяет и определяет подстановку Если эта подстановка тождественна, то w наз. крашеной (или чистой) косой. Транспозиции (i i+1) отвечает простейшая коса si (см. рис. 2). Во множестве всех кос с пнитями и с фиксированными P0. P1, , (bi} вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами где П — область между Р 0 и P1, тождественными на к-рые можно считать такими, что h(Pt)=Pt. Косы а и Р эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм hи Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос В(п).относительно операции, определяемой следующим образом. Экземпляр П' области П помещается над другим экземпляром П" так, чтобы совпала с а затем сжимается вдвое. Образы кос дают косу нить li к-рой получается продолжением li с помощью Единичная коса — класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков, коса w-1, обратная косе w, определяется отражением в плоскости Р 1/2. Условие — на рис. 3. Отображение определяет эпиморфизм В(п).на группу S(п).перестановок пэлементов, ядром к-рого является подгруппа К(п), соответствующая всем чистым косам, так что имеется точная последовательность Группа кос В(п).имеет две основные интерпретации. Первая — пространство конфигурации — получается отождествлением плоскостей Р t с помощью вертикальной проекции на Р 0, при к-рой образы точек при изменении tот 0 до 1 образуют след изотопии множества по причем Косе однозначно соответствует класс гомотопных петель в пространстве неупорядоченных наборов G(n).из ппопарно различных точек плоскости, и имеет место изоморфизм Для крашеных кос аналогично строится изоморфизм где F(п) — пространство упорядоченных наборов из га различных точек плоскости, так что К(п).можно отождествить с подгруппой, отвечающей накрытию Вторая — группа гомеотопий — получается продолжениями изотонии до изотопии плоскости Р 0 тождественной вне нек-рого диска, причем При каждом tдва такие продолжения отличаются на гомеоморфизм, тождественный в точках а it. Косе однозначно соответствует компонента пространства гомеоморфизмов Y(п).плоскости, отображающих множество на себя, и имеет место изоморфизм Каждому гомеоморфизму сопоставляется автоморфизм свободной группы ранга , определенный с точностью до внутреннего, к-рый в свою очередь дает гомоморфизм Элементы образа наз. Носовыми автоморфизмами свободной группы. В частности, косе si отвечает автоморфизм если — базис Fn). Любой носовой автоморфизм а обладает свойствами: с точностью до внутреннего (смысл А i — ниже), эти свойства характеризуют косовые автоморфизмы. Косы являются образующими группы В (п), т. е. причем Оказывается, что (1) — копредставление для В(п).(см. рис. 4). Имеет место расщепляющая точная последова- тельность (получающаяся из локально тривиального расслоения со слоем к-рая приводит к нормальному ряду со свободными факторами причем А i имеет "дополнение" Un-i, изоморфное К( п-i-1). Каждый элемент может быть представлен единственным образом в виде где pw — выбранный представитель для в В(п), а Приведение косы к такой форме наз. ее причесыванием. Это решает проблему тождества в В(п). Копредставление для К(п).таково: образующие (см. рис. 5) соотношения Оно может быть получено как копредставление ядра естественного гомоморфизма в S(п).абстрактной группы В (n), заданной копредставлением (1) с помощью Шрей ера системы Центр группы B(п) — бесконечная циклич. группа, порожденная элементом Коммутант В' (п).совпадает с В" (п).при В'(3) изоморфна свободной группе ранга 2, а В'(4) -полупрямому произведению двух таких групп. Фактор по коммутанту — бесконечная циклич. группа, порожденная образами si. Элементы конечного порядка в В(га) отсутствуют. Группа К(п).переходит в себя при эндоморфизмах с неабелевым образом. В частности, — вполне характе-ристич. подгруппа в В(n). а также и в К(п).(см. [15]). Проблема сопряженности в В(n) решается существенно сложнее проблемы тождества. Имеется единственная нормальная по Гарсайду форма косы где — так наз. элемент Гарсайда, W — положительная, т. е. имеющая запись через si с положительными показателями, коса. Косе w конечным числом операций, определяемых по i(сопряжение с нек-рыми элементами, выбор элементов максимальной степени и т. п.), сопоставляется нек-рое множество слов из к-рого выбирается слово в нормальной форме с минимальным Т. Это — так наз. верхняя форма косы w. Оказывается, что две косы сопряжены тогда и только тогда, когда их верхние формы совпадают (см. [7]). Представление Бурау группы кос В(п).в группу матриц над кольцом целочисленных многочленов одной переменной определяется соответствием: где Ik — единичная матрица порядка k. Матрица есть приведенная матрица Александера (см. Александера инварианты).зацепления, полученного замыканием косы w (см. ниже). Для крашеной косы из аналогичной матрицы Гаснера получается полная матрица Александера. Проблема точности этих представлений не решена (1982) (см. [2]). То, что пространства F(п).и G(n).асферичны, дает возможность вычислить гомологии групп кос. Гомологии К(п).(см. [16]): гомологически К(п).совпадает с произведением букетов окружностей, в к-рых число окружностей увеличивается от одной до n-1. Кольцо когомологий изоморфно внешнему градуированному кольцу, порожденному одномерными элементами с соотношениями В качестве wrl можно взять формы отвечающие обходу диагоналей Гомологии В(п).(см. [8], [12]): гомоморфизм может быть продолжен вложением ; индуцированный гомоморфизм в когомологиях эпиморфен, т. е. когомологии mod 2 группы В(п).порождаются классами Штифеля- Уитни. Имеется естественное отображение G(n) в — пространство сфероидов (вокруг и точек берутся малые диски, к-рые канонически со степенью I отображаются в сферу, а все дополнение — в точку). Это отображение (см. [14]) устанавливает гомологич. эквивалентность предельного пространства (индекс означает, что берется компонента сфероидов степени 0). Относительно нестабильных групп гомологии В(п).доказано [16], что они конечны, стабилизируются с ростом и и имеется правило повторения Дано [17] описание вычисления этих групп. Приложения и обобщения. 1) Замкнутой косой наз. зацепление (n-компонентный узел).в R3, каждая компонента к-рого трансверсально пересекает полуплоскости, ограниченные одной и той же прямой — осью Iзамкнутой косы (см. рис. 6). Коса порождает замкнутую косу (замыкание w) следующим образом. Цилиндр с основаниями на P0 и P1, содержащий внутри себя w, изгибается в R3 так, что образующие переходят в окружности с центрами на прямой l, а основания совмещаются и каждая точка а i, совпадает с bi. Тогда объединение нитей li перейдет в Обратно, каждое зацепление в R3 может быть представлено замкнутой косой. Эквивалентным косам отвечают изотопные зацепления и, более того, сопряженные косы дают изотопные зацепления. Обратное неверно, так как зацепление может быть представлено косами с разным числом нитей. Кроме того, косы не сопряжены в В(п), но отвечают изотопным зацеплениям. Если две замкнутые косы эквивалентны как зацепления, то они могут быть получены одна из другой цепочкой элементарных преобразований двух типов (см. рис. 7). Эти операции интерпретируются в терминах копредставлений группы зацеплений, что дает алгебраич. переформулировку проблемы изотопности зацеплений в виде вопроса о системе групп В(п). Копредставление группы зацепления имеет вид где соотношения определены косовым автоморфизмом bw. Обратно, каждое такое соотношение определяет косу. 2) Если разрезать поверхность рода gспомощью gнепересекающихся сечений так, что получится сфера с 2g дырами, то гомеоморфизмы этой сферы с дырами, оставляющие на месте точки на краях дыр, определяют гомеоморфизмы поверхности, неподвижные на сечениях, и сами определяются с точностью до изотонии элементами группы K(2g). Это дает представление группы кос в группе гомеотопий поверхности. Аналогично строится и представление В(2g). Эти представления используются при изучении диаграмм Хегора трехмерных многообразий. 3) Отождествлением R2 с комплексной прямой С 1 и сопоставлением неупорядоченному набору из " точек плоскости многочлена степени п, имеющего эти точки своими корнями, получается возможность отождествить G(n).с пространством многочленов с ненулевым дискриминантом. Так, этот факт позволил получить ряд результатов о непредставимости алгебраич. функций суперпозицией функций от меньшего числа переменных (см. [16]). 4) Пространства конфигураций для любого пространства Xопределяются аналогично G(п).и F(п).с заменой R2 на X. Фундаментальные группы этих пространств В(X).и К(X).наз. группами кос пространства Xи чистых кос соответственно. Для многообразия М n размерности больше , и эти группы интереса не представляют. Для двумерного многообразия имеется естественное вложение В(п).и К(п).в В n( М 2).и К п( М 2), индуцированное вложением Для М 2, отличного от сферы и проективной плоскости, получается точная последовательность для сферы гомоморфизм еявляется эпиморфизмом, полученным добавлением к (1) еще одного соотношения 5) Если есть fc-листное накрытие, то где а — петля в Y, является петлей в пространстве конфигураций X, чем определяется гомоморфизм к-рый усиливает монодромию накрытия и находит применение в алгебраич. геометрии. 6) Пусть — комплексификация действительного векторного пространства V,a W — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями, действующая в V (и, следовательно, в ). Пусть si — порождающие отражения в плоскостях и D — их объединение. Пусть, наконец, — факторпространство. Группы наз. группами Брискорна, они естественно обобщают К(п).и В(п). Если , то имеет копредставление вида где число сомножителей с каждой стороны равно т/у (а/ здесь соответствует камере Вейля). Для этих групп доказано, что XW и YW являются пространствами типа К ( п,1), решена проблема сопряженности. В алгебраич. геометрии пространства Х^г появляются как дополнения к дискриминанту версальных деформаций рациональных особенностей (см. [12],[13]). Лит.:[1 ] А r t f п Е., "Ann. Math.", 1947, V. 48, p. 101-26, 643-49; [2] Birman J., "Ann. Math. St.", 1974, №82; [3] Burau W., "Hamburg- Abh.", 1932, Bd 9, S. 117-24; [4] Марков А. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1945, т. 16; [5] Gassner В., "Hamburg Abh.", 1961, Bd 25, S. 10-22; [6] F a d e 1 1 E., N e u w i r t h L., "Math. Scand.", 1962, v. 10, p. 111 — 18; 17] Г а р с а и д Ф., "Математика", 1970, т. 14, № 4, с. 116-32; [8] Ф у к с Д. Б., "Функциональный анализ и его приложения", 1970, т. 4, №2, с. 62-73; [9] Арнольд В. И., там же, № 1, с. 84-85; [10] Г о р и н Е. А.. Л и н В. Я., "Матем. сб.", 1969, т. 78, с. 579-610; [11] А р н о л ь д В. И., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1970, т. 21, с. 27-46; [12] Брискорн Э., "Математика", 1974, т. 18, №3, с. 46-59; ИЗ] Брискорн Э., Сайто К., там же, М 6, с. 56-79; S14] D е 1 i g п е P., "Invent. Math.", 1972, v. 17, № 4, p. 273-302; [15] Л и н В. Я., "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 1, с. 173-74; [16] Арнольд В. И., "Матем. заметки", 1969, т. 5, № 2, с. 227-31; [17] Л и н В. Я., в кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 17, М., 1979, с. 159-227. А. В. Чернавский.