Корниша — Фишера Разложение

Асимптотическое разложение разности между соответствующими квантилями нормального распределения и какого-либо близкого к нему распределения по степеням малого параметра; изучено Э. Корнишем и Р. Фишером [1]. Если F(x, t) — функция распределения, зависящая от параметра t, Ф (х) — функция нормального распределения с параметрами (0, 1), причем при то при определенных условиях на F(x, t) К.- Ф. р. функции (F-1 — функция, обратная к F)имеет вид где Si(z) — некоторые многочлены от z. Аналогично определяется К.- Ф. р. функции (Ф -1 — функция, обратная к Ф) по степеням х: где Qi(x) — некоторые многочлены от х. Формула (2) получается при разложении функции Ф -1 в ряд Тейлора в точке Ф (х)и использовании Эджворта разложения. Разложение (1) является обращением формулы (2). Если X — случайная величина с функцией распределения F(x, t), то величина Z=Z (Х)=Ф -1[Р( Х, t)] имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1) и, как следует из (2), функция распределения величины лучше аппроксимируется при t-> 0 функцией Ф (х), чем функция F(x, t). Если Xимеет нулевое математич. ожидание и единичную дисперсию, то первые члены разложения (1) имеют следующий вид где cr есть r-й семиинвариант X, Hr(z).- многочлены Эрмита, определяемые соотношением О разложениях для величин с предельными законами из семейства распределений Пирсона см. [3]. См. также Случайных величин преобразование. Лит.:[1] С о г n i s h E. A., F i s h e г R. A., "Rev. Inst. internat. statist.", 1937, v. 5, p. 307-20; [2] К e н д а л л М., С ть ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [3] Б о л ь ш е в Л. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1963, т. 8, с. 129 — 55. В. И. Пагурова.