Копсевдогалилеево Пространство

Пространство, двойственное псевдогалилееву пространству. Оно является частным случаем полугиперболического пространства. Лит.:[1] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров. КОПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, получаемое из псевдоевклидова путем применения принципа двойственности проективного пространства такой же размерности; обозначение lR*n. К. п. lR*n является пространством с проективной метрикой, к-рая вводится в соответствии с общим определением проективных метрик путем выделения абсолюта в соответствующем по размерности проективном пространстве. Проективная метрика псевдоевклидова пространства lRn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( п-1)-плоскости и вещественной ( п-2)-квадрики в этой плоскости, поэтому проективная метрика соответствующего двойственного К. п. lR*n определяется двойственным к указанному абсолютом: вещественным (абсолютным) конусом 2-го порядка с точечной вершиной, принимаемой в качестве абсолютной точки. Абсолютный конус делит К. п. lR*n нa две области, в к-рых скалярный квадрат векторов имеет постоянный знак. Эти области изображают многообразия соответствующих плоскостей псевдоевклидова пространства, двойственного для данного lR*n. Изотропные плоскости псевдоевклидова пространства изображают точки абсолюта lR*n. В зависимости от расположения относительно абсолютного конуса и абсолютной точки (вершины) различают четыре типа прямых: эллиптические прямые, пересекающие абсолютный конус в двух мнимо сопряженных точках; гиперболически е прямые, пересекающие абсолютный конус в двух вещественных точках; параболические прямые, проходящие через абсолютную точку; изотропные прямые — параболические, к-рые касаются абсолютного конуса. В соответствующем по принципу двойственности псевдоевклидовом пространстве прямые первых двух типов изображаются пучками плоскостей, пересекающихся соответственно по евклидовым и псевдоевклидовым ( п-2)-плоскостям, параболические прямые — пучками параллельных плоскостей, а изотропные — пучками плоскостей, пересекающихся по изотропным (n-2)-плоскостям. Расстояние между точками К. п. lR*n определяется с учетом двойственного характера этого пространства по отношению к соответствующему псевдоевклидову пространству lRn. Пусть точкам Xи YМ lR*n соответствуют плоскости в lRn с нормальными уравнениями так, что причем где Е — линейный оператор, определяющий скалярное произведение в lRn. Расстояние 6 между точками X( х 0, x).и Y(y0, у).определяется соотношением где р — мнимое или действительное число, называемое радиусом кривизны пространства lR*n. В случае, когда плоскости в пространстве lRn, отвечающие точкам Xи Y, параллельны, за расстояние между точками принимается расстояние dмежду этими параллельными плоскостями: Геометрия на различных типах прямых пространства lR*n определяется типом проективной метрики на этих прямых. Так, гиперболич. прямая несет на себе проективную метрику гиперболич. пространства и т. д. За величину угла между двумя плоскостями в К. п. lR*n принимается нормированное расстояние между соответствующими им по принципу двойственности точками псевдоевклидова пространства lRn, Угол между двумя плоскостями равен нормированному расстоянию между точками этих плоскостей, являющихся полюсами ( п-2)-плоскости их пересечения относительно квадрик, высекаемых абсолютным конусом на данных плоскостях, причем во всех случаях определяется тот угол, к-рый не содержит абсолютной точки. В частности, в пространстве 1R*2 угол между двумя прямыми равен нормированному расстоянию между такими двумя точками данных прямых, к-рые вместе с точкой пересечения этих прямых гармонически делят точки пересечения с абсолютными прямыми. Движениями К. п. lR*n наз. такие его преобразования, к-рые индуцируются движениями двойственного ему псевдоевклидова пространства. Движения К. п. lR*n описываются (как и движения псевдоевклидова пространства lRn).псевдоортогональными операторами индекса l. Вследствие двойственного характера свойств плоскостей 1R*2 и 1R2 геометрия плоскости 1R*2 может быть получена из геометрии плоскости 1R2, в частности геометрия треугольника в плоскости 1R*2. Основные соотношения между длинами сторон и величинами углов выражаются формулами, аналогичными для треугольников в коевклидовой плоскости (см. Коевклидово пространство), но с применением гиперболич. функций вместо соответствующих тригонометрических. Пусть в треугольнике ABC внутренний угол Всодержит абсолютную точку. Между длинами сторон a, b, с ивеличинами углов А, В, С имеют место соотношения Ha плоскости 1R*2 метрика расстояний является гиперболической проективной, а метрика углов — параболической. В 3-пространстве 1R*3 проективная метрика на плоскости является гиперболической, на прямой — эллиптической, а метрика в пучках плоскостей — параболической (псевдоевклидовой) метрикой. К. п.- предельный случай гиперболических пространств. Лит.:[1] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [2] Я г л о м И. М., Розенфельд Б. А., Ясинская Е. У., "Успехи матем. наук", 1964, т. 19, в. 5, с. 51-113. Л. А. Сидоров.