Коприсоединенное Представление

Представление группы Ли G, контрагредиентное к присоединенному представлениюAd этой группы. К. п. действует в пространстве g*, дуальном к пространству алгебры Ли g группы G. Если G — вещественная матричная группа, т. е. подгруппа в GL (n,R), то g — подпространство в пространстве Matn (R) вещественных матриц порядка n. Пусть g^ — ортогональное дополнение к g относительно билинейной формы V — какое-нибудь подпространство в Matn(R), дополнительное к g^, P — оператор проектирования на Vпараллельно g^. Тогда g* отождествляется с Vи К. п. задается формулой Соответствующее представление алгебры g также наз. К. п. В рассматриваемом случае оно имеет вид К. п. играет основную роль в орбит методе (см. [2]). Каждая G-орбита Wв К. п. несет на себе каноническую G-инвариантную гамильтонову структуру (см. Гамильтонова система). Другими словами, на каждой орбите Wимеется однозначно определенная невырожденная G-инвариантная замкнутая дифференциальная 2-форма BW (откуда все G-орбиты в К. п. четномерны). Явное выражение для BW можно получить следующим образом. Пусть FО g*,W — орбита, проходящая через точку F, а x и h — касательные векторы к W в точке F. Найдутся такие Xи Yиз g, что Тогда Для каждого XОg векторное поле xX(F)=K(X)Fявляется гамильтоновым относительно BW;в качестве его производящей функции (генератора) можно взять элемент X, рассматриваемый как линейная функция на g*. Стабилизатор точки, орбита которой имеет максимальную размерность в К. п., коммутативен [1]. Возникающие на каждой орбите скобки Пуассона порождают единую скобку Березина, задающую структуру Ли локальной алгебры в пространстве гладких функций на g* (см. [3]). Координатное выражение этой скобки имеет вид где с rij — структурные константы алгебры Ли д. Лит.:[1] В е г n a t Р. [и др.], Representations des groupes de Lie resolubles, P., 1972; [2] К и р и л л о в А. А., Элементы (теории представлений, М., 1972; [3] его же, "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 4, с. 57-76. А. А. Кириллов.