Кооперативная Игра

Нестратегическая игра (см. Игр теория), задаваемая тройкой (I, u, H), где I — множество (обычно конечное), элементы к-рого наз. игроками, а подмножества — коалициям и, v- вещественная функция, определенная на множестве коалиций и называемая характеристической функцией игры, Н- некоторое подмножество векторов Х I (компоненты х i к-рых соответствуют игрокам iиз I), называемых дележам и. К. и. впервые были введены Дж. Нейманом (J. Neumann, 1929) как аппарат кооперативной теории (бескоалиционных) игр. В классической теории К. и. принимается: На множестве Нвводится бинарное отношение доминирования (предпочтения) дележей по коалиции Если для нек-рого то полагают Относительно этого отношения доминирования формулируются понятия оптимальности дележей. Значительная часть содержания теории К. и. состоит в разработке понятий оптимальности, в доказательствах их реализуемости для различных частных классов К. и. и фактическом нахождении таких реализаций. К числу принципов оптимальности, разрабатываемых применительно к К. п., относятся: двойная (т. е. внешняя и внутренняя) устойчивость, реализуемая в форме решений по Нейману — Моргенштерну (Н-М-решения); недоминируемость дележей (см. Ядра в теории игр); устойчивость относительно угроз; устойчивость в смысле минимизации наибольшей неудовлетворенности (см. Устойчивость в теории игр), справедливость (см. Щепли вектор )и др. Введение на классе К. и. алгебраич. операций приводит к исчислениям К. и. и к исследованию взаимосвязей между этими операциями и различными принципами оптимальности. Специальному изучению подвергались различные частные классы К. и., описанные ниже. Простая игра — К. и., в к-рой характеристич. функция vпринимает ровно два значения (обычно 0 и 1); при этом коалиции К, на к-рых достигается максимальное значение v(K), наз. выигрывающими. Частным случаем простых игр является взвешенная мажоритарная игра, в к-рой коалиция Кявляется выигрывающей, если >где — некоторые заданные числа. Сбалансированная игра — К. и., для характеристической функции которой если семейство коалиций и числа таковы, что где cK(i)= 1, если и 0 в противном случае. Сбалансированные игры и только они имеют непустое с-ядро. Выпуклая игра — К. п., для характеристич. функции к-рой при К, В выпуклой игре с-ядро непусто и совпадает с единственным Н — М-решением. Если К. п. строго выпуклая (т. Игры без побочных платежей — нестратегич. игры, задаваемые тройкой (I, u, Н), где v(в отличие от классических К. и.) — функция, к-рая каждой коалиции Кставит в соответствие множество v(K)векторов Х I, удовлетворяющее условиям: 1) u(K)замкнуто и выпукло; 2) если xI Оu(K)и yi<xi(iОK), то 3) если то 4) для всех 5) тогда и только тогда, когда для нек-рого Доминирование в игре без побочных платежей определяется следующим образом: если существует такая непустая коалиция что Игра в форме функции разбиения- нестратегическая игра, задаваемая множеством игроков I и функцией v, к-рая каждому разбиению =( Р 1, . . ., Р п )множества I ставит в соответствие вектор . Максимальный выигрыш, к-рый может гарантировать себе коалиция К, определяется формулой Дележ в игре в форме функции разбиения определяется как вектор х р удовлетворяющий условиям: =для нек-рого. Дележ xI доминирует дележ у I по коалиции К, если: xi> у i(); существует такое , что и Лит.:[1] Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ.,М., 1970; [2] Воробьев Н. Н., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, № 2, с. 81-140; [3] Розенмюллер И., Кооперативные игры и рынки, пер. с англ., М., 1974. Н. Н. Воробьев, А. И. Соболев.