Конус
1) К. в евклидовом пространстве — множество К, составленное из полупрямых, исходящих из нек-рой точки О- вершины К. Границу дК множества К(составленную из полупрямых, наз. образующими К.) — часть конической поверхности- также иногда наз. К. Наконец, часто К. наз. пересечение Кс полупространством, содержащим Ои ограниченным плоскостью, не проходящей через О. В этой ситуации часть плоскости, лежащая внутри конич. поверхности, наз. основанием К., а часть конич. поверхности, заключенная между вершиной и основанием,- боковой поверхностью К. Если основание К. есть круг, то К. наз. к руговым. Круговой К. наз. прямым, если ортогональная проекция его вершины на плоскость основания совпадает с центром основания. Прямая, проходящая через вершину К. перпендикулярно основанию, наз. осью К., а ее отрезок между вершиной и основанием — высотой К. Объем прямого кругового К. равен pR2h/3, где h- высота, R- радиус основания; площадь боковой поверхности равна pRl, где l- длина отрезка образующей между вершиной и основанием. Подмножество К., заключенное между двумя параллельными плоскостями, наз. усеченным К., или коническим слоем. Слой прямого кругового К. между плоскостями, параллельными основанию, имеет объем p(R2+r2+Rr) h/3, где R, r- радиусы оснований, h- высота (расстояние между основаниями); площадь боковой поверхности p(R+r)l, где l- длина отрезка образующей. А. Б. Иванов.2) К. над топология, пространством X(основанием К.) — пространство СХ, получающееся из произведения X[0, 1] стягиванием подпространства XX в одну точку W(вершину К): Другими словами, СХ- цилиндр постоянного отображения (см. Цилиндрическая конструкция )или конус тождественного отображения id : (см. Коническая конструкция). Пространство Xстягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом всякого К. над X. Понятие К. над топологич. пространством обобщается в рамках теории категорий: множество морфизмов произвольной категории с общим началом в объекте Аназ. конусом морфизмов с вершиной А;двойственно, коконус морфизмов есть множество морфизмов bi : с общим концом в объекте А. См. [4], [5], [6]. М. И. Войцеховский.3)К. отображения — топологич. пространство, сопоставляемое непрерывному отображению топологич. пространств конической конструкцией. Пусть С 1 — конус вложения — конус вложения и т. д. Получающаяся последовательность наз. последовательностью Пуппе; здесь и т. д., где SX(SY)- надстройка над X(над Y). Аналогично определяется приведенный конус С f отображения пунктированных пространств. При этом, как и в ситуации с корасслоением, для любого пунктированного пространства Апоследовательность гомотопич. классов, индуцированная последовательностью Пуппе, точна; в ней все члены, начиная с четвертого,- группы, а начиная с седьмого — абелевы группы. См. [4], [5]. А. Пусть К'- сопряженный клин, т. е. совокупность всех положительных линейных непрерывных функционалов на Е(f положителен, если для любого К'- К. тогда и только тогда, когда К- пространственный, т. е. замыкание Если Кзамкнут, то для любого x0>0 (соответственно существует такой что f(x0)>0 (f(x0)<0). К. Кназ. несплющенным, если для любого существуют такие u, vО K, что где М=const. Если К. замкнутый и воспроизводящий, то он несплющен (теорема Крейна — Шмульяна). К. Кназ. нормальным, если Нормальность К. равносильна полумонотонности нормы:влечет где М=const. Для того чтобы клин К' был воспроизводящим в сопряженном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы К. был нормальным (теорема Крейна). Двойственно: если К'- нормальный К., соответствующий замкнутому К. К, то К. Квоспроизводящий. Существует взаимно однозначное линейное и непрерывное отображение пространства Ес нормальным К. Кв подпространство пространства С(Q)непрерывных функций на некотором бикомпакте Q, при котором элементы из Ки только они переходят в неотрицательные функции. К. Кназ. правильным (вполне правильны м), если всякая последовательность элементов из К, возрастающая и ограниченная по порядку (по норме), сходится. Если Кзамкнут и правилен, то он нормален, а всякий вполне правильный конус нормален и правилен. Если же Кправилен и телесен, то он вполне правилен. Правильность К. связана со свойством монотонной непрерывности нормы: если т. е. семейство — убывающее направление, и inf xa = 0, то Правильность замкнутого К. Кравносильна тому, что пространство Едедекнндово полно, а норма в Емонотонно непрерывна. Правильность телесного К. Квлечет монотонную непрерывность нормы в Е. К. Кназ. оштукатуриваемым, если существуют К. и число d>0 такие, что для любого шар Оштукатуриваемость Кравносильна существованию в Еэквивалентной нормы, аддитивной на К. Оштукатуриваемый К. вполне правилен. Теория К. развита и для произвольных нормированных пространств. Однако в этом общем случае нек-рые из вышеприведенных результатов не сохраняются, напр., перестает быть верной теорема Крейна — Шмульяна, а правильность замкнутого К. не влечет его нормальность. См. [1], [7], [8], [9], [10]. Б.