Континуум-гипотеза

Гипотеза Г. Кантора (G. Cantor, 1878), состоящая в том, что всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R. Эквивалентная формулировка (при наличии выбора аксиомы): (см. Алефы). Обобщение этого равенства на произвольные кардинальные числа наз. обобщенной континуум-гипотезой: для всякого ординального числа a В отсутствии аксиомы выбора обобщенная К.-г. формулируется в виде где k, т.- переменные для бесконечных кардинальных чисел. Из (2) вытекают аксиома выбора и (1), а из (1) и аксиомы выбора вытекает (2). Д. Гильберт (D. Hilbert) в своем знаменитом списке проблем поставил под номером 1 проблему доказать гипотезу континуума Кантора (проблема континуума). В рамках традиционного теоретико-множественного решения проблема не поддавалась решению. Среди математиков росло убеждение в принципиальной неразрешимости проблемы континуума. Лишь после того, как был найден способ сведения математич. понятий к теоретико-множественным, выявлены аксиомы, сформулированные на теоретико-множественном языке, к-рые можно положить в основу реально встречающихся математич. доказательств, и формализованы логич. средства вывода, стало возможным точно поставить, а затем и решить вопрос о формальной неразрешимости К.-г. Формальная неразрешимость понимается в смысле не существования формального вывода в системе Цермело — Френкеля ZF как для К.-г., так и для ее отрицания. В 1939 К. Гёдель (К. Godel) установил недоказуемость отрицания обобщенной К.-г. (а следовательно, н недоказуемость отрицания К.-г.) в системе ZF с аксиомой выбора (системе ZFC), в предположении, что ZF непротиворечива (см. Конструктивное по Гёделю множество). В 1963 П. Коэн (P. Cohen) показал невыводимость К.-г. (а следовательно, и невыводимость обобщенной К.-г.) из аксиом ZFC при условии непротиворечивости ZF (см. Вынуждения метод). Являются ли эти результаты окончательными в проблеме континуума? Ответ на этот вопрос зависит от отношения к посылке о непротиворечивости ZF и, что . более существенно, к тому экспериментальному факту, что всякое содержательное математич. доказательство (традиционной классич. математики), после того как оно найдено, может быть адекватным образом формализовано в системе ZFC. Факт этот нельзя не только доказать, но даже точно сформулировать, поскольку всякое уточнение поднимает аналогичный вопрос об адекватности уточнения уточняемому. На теоретико-модельном языке К. Гёдель и П. Коэн построили модели для ZFC, в к-рых где т- произвольный, наперед заданный несчетный регулярный кардинал, а k+- первое кардинальное число, большее к. Каково возможное поведение функции 2k в различных моделях ZFC? Известно, что на регулярных кардиналах kфункция эта может вести себя как угодно, подчиняясь лишь условиям где cf (т) — наименьший кардинал конфинальный т(см. кардинальное число). Для сингулярных (т. е. не регулярных) кзначение функции 2k может зависеть от ее поведения на меньших кардинальных числах. Так, напр., если равенство (1) пмеет место для всех a<w1, то оно имеет место и для a=w1. Лит.:[1] Коэн П. Дж ., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [2] Ваumgаrtnеr J. Е., Prikry K.,"Amer. Math. Monthly", 1977, v. 84, № 2, p. 108- 113. В. Н. Гришин.