КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА

КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА – совокупность логических принципов, признаваемых представителями конструктивизма(в математике) и включающих абстракцию потенциальной, но не актуальной бесконечности, что определенным образом изменяет понимание логических связок и кванторов (по сравнению с их пониманием в классической логике), сочетая это понимание с конструктивными процессами [КОНСТРУКТИВНЫЙ ПРОЦЕСС](процессами, описываемыми алгоритмами [АЛГОРИТМ]). Так, дизъюнкция высказываний «А или B» считается обоснованной, если потенциально осуществим конструктивный процесс, позволяющий выбрать верный член этой дизъюнкции; аналогично оценивается обоснованность многочленных дизъюнкций. Близко к пониманию дизъюнкции истолкование квантора существования: утверждение «существует такой х, для которого справедливо условие А»считается обоснованным, если потенциально осуществим конструктивный процесс подбора конструктивного объекта х, подтверждающего условие А. Обоснование конъюнкции «А и В» состоит в обосновании обоих (т.е. всех) конъюнктивных членов, а утверждение «Для всякого x справедливо условие А»считается обоснованным, если мы в состоянии для всякого объекта рассматриваемого вида доказать, что он удовлетворяет предъявленному требованию. Обоснование импликации «если А, то В»состоит в предъявлении конструктивного процесса, позволяющего по обоснованию утверждения А построить обоснование утверждения В. Отрицание утверждения А обосновывается предъявлением конструкции, приводящей к противоречию всякую попытку обоснования A.

Конструктивное истолкование логических связок и кванторов допускает и различные другие уточнения. В частности, созданы различные аксиоматические системы конструктивной логики. Поскольку конструктивная позиция идейно близка интуиционистской, аксиоматические системы, первоначально предназначавшиеся для реконструкции интуиционистски приемлемых рассуждений (см. Интуиционистская логика [ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА]), называются (или подразумеваются) конструктивными. (Напр., активно изучающиеся суперинтуиционистские логики в 60-е гг. и несколько позже назывались суперконструктивными.) Отличие этих логик от классической проявляется в том, что хотя конструктивно приемлемыми являются, напр., законы p→¬¬p, ¬¬¬p→¬p, (p→q)→(¬q→¬p), в этих системах отсутствуют практически все остальные варианты форм рассуждений «от противного» – закон снятия двойного отрицания ¬¬p→p, закон контрапозиции (¬р→¬q) →(q → p), закон Клавия (¬p→p) → p, закон Пирса ((p→q) → p) → p и др. Кроме того, в конструктивной логике связки независимы, т.е. не выражаются друг через друга, нет классической взаимовыразимости кванторов всеобщности и существования. В результате оказываются, в частности, необоснованными рассуждения, приводящие к доказательству т.н. чистых теорем существования, типичным примером которых является доказательство Г.Кантора существования трансцендентных (т.е. действительных, но не алгебраических) чисел: приводится к противоречию предположение о возможности расположить все действительные числа в последовательность, в то время как алгебраические числа в последовательность можно расположить. Чистые теоремы существования (имеется в виду формулировка теоремы, проистекающая из доказательства) имеют вид ¬¬∃хА(х), не переводимый в ∃хА(х), поскольку их доказательства не дают конкретного х, подтверждающего справедливость А, а лишь приводят к противоречию утверждение об отсутствии такого х. Однако ввиду специфики конструктивных объектов и процессов многими представителями конструктивизма (в отличие, скажем, от приверженцев интуиционизма) принимается принцип конструктивного подбора (или принцип Маркова): если имеется алгоритм, позволяющий по произвольному конструктивному объекту x осуществлять конструктивный процесс установления наличия у x свойства А, то в случае обоснования ¬¬∃хА(х) считается обоснованным и ∃хА(х). Взаимосвязи классических и конструктивных логических систем проявляются на пропозициональном уровне в виде т.н. теоремы Гливенко: а) отрицательные утверждения в этих системах одинаковы; б) конструктивно приемлемым является двойное отрицание любого закона классической логики высказываний и наоборот. Для справедливости теоремы Гливенко для предикатных вариантов конструктивных и классических систем необходимо добавление в качестве схемы аксиом в конструктивную систему закона ¬¬(∀xA(x)∨¬ ∀хА(х)) и/или закона ∀х¬¬А(х)→ ¬¬∀xA(x) (обратная импликация ¬¬∀хА(х) →∀х¬¬¬А(х) принимается в конструктивной логике). Отличительной чертой систем конструктивной логики и построенных на их основе теорий являются т.н. 1) свойство дизъюнкции (или дизъюнктивное свойство) – если выводима дизъюнкция, то выводим и некоторый ее дизъюнктивный член, – и 2) экзистенциальное свойство – если выведена формула ∃хА(х), то можно вывести и формулу A(t) при некотором конкретном эффективно разыскиваемом t, т.е. из доказательства существования конструктивного объекта с требуемыми свойствами можно извлечь конструкцию его построения. Кроме аксиоматических систем конструктивной логики, имеются различные семантические построения, отражающие конструктивные воззрения на смысл логических связок, формул и т.д. Наиболее известными являются рекурсивная реализуемость по С.К.Клини и ее варианты, а также разработанная Н.А.Шаниным мажорантная семантика арифметических формул и созданная А.А.Марковым ступенчатая система построения логических языков с одновременным определением их семантики «снизу вверх».

Литература:

1. Марков А.А. О логике конструктивной математики. М., 1972;

2. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М., 1977;

3. Он же. Элементы математической логики. М., 1984;

4. Справочная книга по математической логике, т. IV: Теория доказательств и конструктивная математика. М., 1983;

5. Марков Α.Α., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. 2-е изд. М., 1996.

А.В.Чагров